Упр.1260 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить B₁D и доказать равнобедренность трапецииС пояснением
1) Через точку B проведём прямую, параллельную CD, а через точку D — прямую, параллельную BC. Точку их пересечения обозначим B₁. Тогда BB₁ ∥ CD и B₁D ∥ BC, поэтому отрезок B₁D получается из отрезка BC параллельным переносом на вектор CD.
2) Точки A, C и D лежат на одной прямой, следовательно, CD лежит на прямой AD. Так как BB₁ ∥ CD, то BB₁ ∥ AD. Значит, ABB₁D — трапеция с основаниями BB₁ и AD.
3) Параллельный перенос сохраняет длины, поэтому B₁D = BC. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, значит, AB = BC. Следовательно, AB = B₁D.
4) Боковые стороны трапеции ABB₁D равны, поэтому она равнобедренная.
Ответ: B₁ — точка пересечения прямой, проведённой через B параллельно CD, и прямой, проведённой через D параллельно BC; ABB₁D — равнобедренная трапеция.
Кратко а) Через B проведём прямую, параллельную CD, а через D — прямую, параллельную BC. Их пересечение — точка B₁.
б) BB₁ ∥ CD, а точки A, C, D лежат на одной прямой, поэтому BB₁ ∥ AD. Кроме того, B₁D = BC = AB. Следовательно, ABB₁D — трапеция с равными боковыми сторонами, то есть равнобедренная.
Ответ: отрезок B₁D построен; ABB₁D — равнобедренная трапеция.
2) Точки A, C и D лежат на одной прямой, следовательно, CD лежит на прямой AD. Так как BB₁ ∥ CD, то BB₁ ∥ AD. Значит, ABB₁D — трапеция с основаниями BB₁ и AD.
3) Параллельный перенос сохраняет длины, поэтому B₁D = BC. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, значит, AB = BC. Следовательно, AB = B₁D.
4) Боковые стороны трапеции ABB₁D равны, поэтому она равнобедренная.
Ответ: B₁ — точка пересечения прямой, проведённой через B параллельно CD, и прямой, проведённой через D параллельно BC; ABB₁D — равнобедренная трапеция.
Кратко а) Через B проведём прямую, параллельную CD, а через D — прямую, параллельную BC. Их пересечение — точка B₁.
б) BB₁ ∥ CD, а точки A, C, D лежат на одной прямой, поэтому BB₁ ∥ AD. Кроме того, B₁D = BC = AB. Следовательно, ABB₁D — трапеция с равными боковыми сторонами, то есть равнобедренная.
Ответ: отрезок B₁D построен; ABB₁D — равнобедренная трапеция.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти сторону AB по перпендикулярным медианамС пояснением
1) Обозначим точку пересечения медиан через O. Проведём оси координат вдоль перпендикулярных медиан AM и BN и положим AO = 2x, BO = 2y. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, то можно записать:
A(2x; 0), B(0; 2y), C(−2x; −2y).2) По формуле расстояния между точками:
AC² = (4x)² + (2y)² = 16x² + 4y²,
BC² = (2x)² + (4y)² = 4x² + 16y²,
AB² = (2x)² + (2y)² = 4x² + 4y².3) Поэтому:
AC² + BC² = 20x² + 20y² = 5AB².4) Подставим длины сторон:
9² + 12² = 5AB²,
225 = 5AB²,
AB² = 45,
AB = 3√5 (см).Ответ: 3√5 см.
Кратко Так как медианы AM и BN перпендикулярны, выполняется соотношение:
AC² + BC² = 5AB².AB = √((9² + 12²) : 5) = √45 = 3√5 (см).Ответ: 3√5 см.
A(2x; 0), B(0; 2y), C(−2x; −2y).2) По формуле расстояния между точками:
AC² = (4x)² + (2y)² = 16x² + 4y²,
BC² = (2x)² + (4y)² = 4x² + 16y²,
AB² = (2x)² + (2y)² = 4x² + 4y².3) Поэтому:
AC² + BC² = 20x² + 20y² = 5AB².4) Подставим длины сторон:
9² + 12² = 5AB²,
225 = 5AB²,
AB² = 45,
AB = 3√5 (см).Ответ: 3√5 см.
Кратко Так как медианы AM и BN перпендикулярны, выполняется соотношение:
AC² + BC² = 5AB².AB = √((9² + 12²) : 5) = √45 = 3√5 (см).Ответ: 3√5 см.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием АС и такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B1D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABB1D — равнобедренная трапеция.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC АС = 9 см, ВС= 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
