Упр.1266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать совмещение квадрата с собой при поворотеС пояснением
Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.1) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA = OB = OC = OD, а ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.
2) При повороте вокруг O на 90° вершины последовательно переходят друг в друга: A → B, B → C, C → D, D → A.
3) Следовательно, стороны переходят в стороны: AB → BC, BC → CD, CD → DA, DA → AB. Значит, после поворота квадрат совмещается с исходным.Ответ: при повороте на 90° вокруг точки пересечения диагоналей квадрат отображается на себя.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как OA = OB = OC = OD и углы AOB, BOC, COD, DOA равны 90°, при повороте на 90° получаем: A → B, B → C, C → D, D → A. Поэтому все стороны квадрата переходят в его стороны.Ответ: квадрат отображается на себя.
2) При повороте вокруг O на 90° вершины последовательно переходят друг в друга: A → B, B → C, C → D, D → A.
3) Следовательно, стороны переходят в стороны: AB → BC, BC → CD, CD → DA, DA → AB. Значит, после поворота квадрат совмещается с исходным.Ответ: при повороте на 90° вокруг точки пересечения диагоналей квадрат отображается на себя.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как OA = OB = OC = OD и углы AOB, BOC, COD, DOA равны 90°, при повороте на 90° получаем: A → B, B → C, C → D, D → A. Поэтому все стороны квадрата переходят в его стороны.Ответ: квадрат отображается на себя.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти множество точек MС пояснением
1) Опустим из точки A перпендикуляр AH на прямую a.2) На луче AH отметим точку H′ так, чтобы
AH · AH′ = k.3) Для любой точки M₁ прямой a имеем
AM₁ · AM = AH · AH′,
поэтому
AM : AH = AH′ : AM₁.
Угол между лучами AM и AH равен углу между лучами AH′ и AM₁. Следовательно, треугольники AMH′ и AHM₁ подобны.4) Так как AH ⟂ HM₁, то ∠AMH′ = 90°. Значит, точка M лежит на окружности с диаметром AH′.5) Обратно, для любой точки M этой окружности, кроме A, построенная на луче AM точка M₁, для которой AM₁ · AM = k, лежит на прямой a. Поэтому получена вся искомая окружность, но точка A в множество не входит.Ответ: окружность с диаметром AH′ без точки A, где AH ⟂ a и AH · AH′ = k.
Кратко Пусть AH ⟂ a. На луче AH отметим точку H′, для которой AH · AH′ = k. Тогда все точки M лежат на окружности с диаметром AH′, причём точка A не входит в искомое множество.Ответ: окружность с диаметром AH′ без точки A.
AH · AH′ = k.3) Для любой точки M₁ прямой a имеем
AM₁ · AM = AH · AH′,
поэтому
AM : AH = AH′ : AM₁.
Угол между лучами AM и AH равен углу между лучами AH′ и AM₁. Следовательно, треугольники AMH′ и AHM₁ подобны.4) Так как AH ⟂ HM₁, то ∠AMH′ = 90°. Значит, точка M лежит на окружности с диаметром AH′.5) Обратно, для любой точки M этой окружности, кроме A, построенная на луче AM точка M₁, для которой AM₁ · AM = k, лежит на прямой a. Поэтому получена вся искомая окружность, но точка A в множество не входит.Ответ: окружность с диаметром AH′ без точки A, где AH ⟂ a и AH · AH′ = k.
Кратко Пусть AH ⟂ a. На луче AH отметим точку H′, для которой AH · AH′ = k. Тогда все точки M лежат на окружности с диаметром AH′, причём точка A не входит в искомое множество.Ответ: окружность с диаметром AH′ без точки A.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.
Задание учебника 2023 года
Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки Мх прямой а на луче АМ1 взята такая точка М, что АМ1 x AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек М.
