Упр.1265 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать самосовмещение треугольника при повороте на 120°С пояснением
1) В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также серединными перпендикулярами к сторонам. Поэтому точка D равноудалена от вершин: DA = DB = DC.
2) Так как AB = BC = CA, треугольники ADB, BDC и CDA равны по трём сторонам. Значит, углы ADB, BDC и CDA равны.
3) Сумма этих углов вокруг точки D равна 360°, поэтому каждый из них равен 360° : 3 = 120°.
4) При повороте вокруг D на 120° в направлении от A к B вершина A переходит в B, B — в C, а C — в A. Следовательно, стороны AB, BC и CA переходят соответственно в BC, CA и AB.Ответ: при повороте вокруг точки D на 120° треугольник ABC отображается на себя.
Кратко DA = DB = DC, а AB = BC = CA, поэтому треугольники ADB, BDC и CDA равны. Следовательно,
∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 360° : 3 = 120°.
При повороте вокруг D на 120° вершины переходят друг в друга: A → B, B → C, C → A. Значит, треугольник ABC отображается на себя.Ответ: треугольник ABC при таком повороте отображается на себя.
2) Так как AB = BC = CA, треугольники ADB, BDC и CDA равны по трём сторонам. Значит, углы ADB, BDC и CDA равны.
3) Сумма этих углов вокруг точки D равна 360°, поэтому каждый из них равен 360° : 3 = 120°.
4) При повороте вокруг D на 120° в направлении от A к B вершина A переходит в B, B — в C, а C — в A. Следовательно, стороны AB, BC и CA переходят соответственно в BC, CA и AB.Ответ: при повороте вокруг точки D на 120° треугольник ABC отображается на себя.
Кратко DA = DB = DC, а AB = BC = CA, поэтому треугольники ADB, BDC и CDA равны. Следовательно,
∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 360° : 3 = 120°.
При повороте вокруг D на 120° вершины переходят друг в друга: A → B, B → C, C → A. Значит, треугольник ABC отображается на себя.Ответ: треугольник ABC при таком повороте отображается на себя.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти множество точек постоянного значения суммыС пояснением
Обозначим постоянное значение суммы через k:
α·AM² + β·BM² + γ·CM² = k.а) Пусть s = α + β + γ ≠ 0. Выберем точку P так, чтобы
s·OP⃗ = α·OA⃗ + β·OB⃗ + γ·OC⃗.
Тогда
α·AM² + β·BM² + γ·CM² = s·PM² + q,
где
q = (αβ·AB² + βγ·BC² + γα·CA²)/s.
Следовательно,
PM² = (k − q)/s.
Если правая часть положительна, искомое множество — окружность с центром P; если равна нулю — одна точка P; если отрицательна — таких точек нет.б) Пусть α + β + γ = 0. Обозначим
v⃗ = α·CA⃗ + β·CB⃗.
После раскрытия квадратов условие принимает вид
2·CM⃗·v⃗ = α·CA² + β·CB² − k.
Если v⃗ ≠ 0⃗, это уравнение прямой, перпендикулярной вектору v⃗.
Если v⃗ = 0⃗, сумма не зависит от положения M. Тогда искомое множество — вся плоскость, если постоянное значение равно α·CA² + β·CB², и пустое множество в противном случае.Ответ: а) окружность, одна точка или пустое множество; б) прямая, а в особом случае — вся плоскость или пустое множество.
Кратко Пусть значение суммы равно k.а) При s = α + β + γ ≠ 0 введём точку P:
s·OP⃗ = α·OA⃗ + β·OB⃗ + γ·OC⃗.
Тогда
PM² = k/s − (αβ·AB² + βγ·BC² + γα·CA²)/s².
Поэтому множество точек M — окружность с центром P; при PM² = 0 это одна точка P, а при PM² < 0 решений нет.б) При α + β + γ = 0 положим v⃗ = α·CA⃗ + β·CB⃗. Если v⃗ ≠ 0⃗, множество точек M — прямая, перпендикулярная v⃗. Если v⃗ = 0⃗, сумма постоянна на всей плоскости; в зависимости от k получаем всю плоскость или пустое множество.Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, вся плоскость или пустое множество.
α·AM² + β·BM² + γ·CM² = k.а) Пусть s = α + β + γ ≠ 0. Выберем точку P так, чтобы
s·OP⃗ = α·OA⃗ + β·OB⃗ + γ·OC⃗.
Тогда
α·AM² + β·BM² + γ·CM² = s·PM² + q,
где
q = (αβ·AB² + βγ·BC² + γα·CA²)/s.
Следовательно,
PM² = (k − q)/s.
Если правая часть положительна, искомое множество — окружность с центром P; если равна нулю — одна точка P; если отрицательна — таких точек нет.б) Пусть α + β + γ = 0. Обозначим
v⃗ = α·CA⃗ + β·CB⃗.
После раскрытия квадратов условие принимает вид
2·CM⃗·v⃗ = α·CA² + β·CB² − k.
Если v⃗ ≠ 0⃗, это уравнение прямой, перпендикулярной вектору v⃗.
Если v⃗ = 0⃗, сумма не зависит от положения M. Тогда искомое множество — вся плоскость, если постоянное значение равно α·CA² + β·CB², и пустое множество в противном случае.Ответ: а) окружность, одна точка или пустое множество; б) прямая, а в особом случае — вся плоскость или пустое множество.
Кратко Пусть значение суммы равно k.а) При s = α + β + γ ≠ 0 введём точку P:
s·OP⃗ = α·OA⃗ + β·OB⃗ + γ·OC⃗.
Тогда
PM² = k/s − (αβ·AB² + βγ·BC² + γα·CA²)/s².
Поэтому множество точек M — окружность с центром P; при PM² = 0 это одна точка P, а при PM² < 0 решений нет.б) При α + β + γ = 0 положим v⃗ = α·CA⃗ + β·CB⃗. Если v⃗ ≠ 0⃗, множество точек M — прямая, перпендикулярная v⃗. Если v⃗ = 0⃗, сумма постоянна на всей плоскости; в зависимости от k получаем всю плоскость или пустое множество.Ответ: а) окружность, точка или пустое множество; б) прямая, вся плоскость или пустое множество.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
Задание учебника 2023 года
Даны три точки А, В, С и три числа а, b, у. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых сумма аАМ2 + bВМ2 + уСМ2 имеет постоянное значение, если: а) а + b + у=0; б) а + b + у=0.
