Упр.953 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что векторы p, q и r нулевыеС пояснением
1) По правилу треугольника:
Кратко Используем правило треугольника и заменяем вычитаемые векторы противоположными:
\(p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0.\)
2) Противоположные векторы равны по длине и противоположны по направлению, поэтому \(-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}\):\(q=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0.\)
3) Аналогично, \(-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}\) и \(-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}\):\(r=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XZ}=\vec 0.\)
Ответ: \(p=q=r=\vec 0\).Кратко Используем правило треугольника и заменяем вычитаемые векторы противоположными:
\(p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX}=\vec 0;\)
\(q=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\vec 0;\)
\(r=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX}+\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XZ}=\vec 0.\)
Ответ: \(p=q=r=\vec 0\).Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство сумм квадратов сторон и диагоналейС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α.1) По теореме косинусов для треугольника ABD:
BD² = a² + b² − 2ab cos α.2) Так как соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, то ∠ABC = 180° − α. По теореме косинусов для треугольника ABC:
AC² = a² + b² − 2ab cos(180° − α) = a² + b² + 2ab cos α.3) Сложим полученные равенства:
AC² + BD² = 2a² + 2b².При этом сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна:
AB² + BC² + CD² + DA² = a² + b² + a² + b² = 2a² + 2b².Следовательно,
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².Ответ: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Кратко Пусть AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α. По теореме косинусов:
BD² = a² + b² − 2ab cos α,
AC² = a² + b² + 2ab cos α.Тогда AC² + BD² = 2a² + 2b². Но
AB² + BC² + CD² + DA² = 2a² + 2b².Ответ: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
BD² = a² + b² − 2ab cos α.2) Так как соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, то ∠ABC = 180° − α. По теореме косинусов для треугольника ABC:
AC² = a² + b² − 2ab cos(180° − α) = a² + b² + 2ab cos α.3) Сложим полученные равенства:
AC² + BD² = 2a² + 2b².При этом сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна:
AB² + BC² + CD² + DA² = a² + b² + a² + b² = 2a² + 2b².Следовательно,
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².Ответ: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Кратко Пусть AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α. По теореме косинусов:
BD² = a² + b² − 2ab cos α,
AC² = a² + b² + 2ab cos α.Тогда AC² + BD² = 2a² + 2b². Но
AB² + BC² + CD² + DA² = 2a² + 2b².Ответ: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы р = XY + ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-ZX нулевые.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
