Упр.947 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать отсутствие общих точек у окружностейС пояснением
Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, их радиусы равны r₁ и r₂, причём O₁O₂ > r₁ + r₂.1) Возьмём произвольную точку M первой окружности. Тогда O₁M = r₁. По неравенству треугольника:
O₂M ≥ O₁O₂ − O₁M > r₁ + r₂ − r₁ = r₂.
Значит, точка M лежит вне второй окружности.2) Так как M — произвольная точка первой окружности, вся первая окружность лежит вне второй. Аналогично доказывается, что вся вторая окружность лежит вне первой.Следовательно, окружности не имеют общих точек.Ответ: если O₁O₂ > r₁ + r₂, окружности не пересекаются и каждая из них лежит вне другой.
Кратко Пусть радиусы окружностей равны r₁ и r₂, а расстояние между центрами d > r₁ + r₂. Для любой точки M первой окружности:
O₂M ≥ d − r₁ > r₂.
Поэтому все точки первой окружности лежат вне второй. Так же все точки второй окружности лежат вне первой, следовательно, общих точек нет.Ответ: окружности не имеют общих точек и лежат вне друг друга.
O₂M ≥ O₁O₂ − O₁M > r₁ + r₂ − r₁ = r₂.
Значит, точка M лежит вне второй окружности.2) Так как M — произвольная точка первой окружности, вся первая окружность лежит вне второй. Аналогично доказывается, что вся вторая окружность лежит вне первой.Следовательно, окружности не имеют общих точек.Ответ: если O₁O₂ > r₁ + r₂, окружности не пересекаются и каждая из них лежит вне другой.
Кратко Пусть радиусы окружностей равны r₁ и r₂, а расстояние между центрами d > r₁ + r₂. Для любой точки M первой окружности:
O₂M ≥ d − r₁ > r₂.
Поэтому все точки первой окружности лежат вне второй. Так же все точки второй окружности лежат вне первой, следовательно, общих точек нет.Ответ: окружности не имеют общих точек и лежат вне друг друга.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равнобедренность и найти площади треугольниковС пояснением
а) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (1 − 0)² + (−4 − 1)² = 26;
AC² = (5 − 0)² + (2 − 1)² = 26.
Следовательно, AB = AC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.Найдём площадь по координатам векторов AB = (1; −5) и AC = (5; 1):
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (−2 + 4)² + (4 − 1)² = 13;
BC² = (0 + 2)² + (1 − 4)² = 13.
Следовательно, AB = BC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.AC = 4, а высота, проведённая из B к горизонтальному основанию AC, равна 4 − 1 = 3.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Кратко а) AB² = 1² + (−5)² = 26, AC² = 5² + 1² = 26, значит, AB = AC.
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) AB² = 2² + 3² = 13, BC² = 2² + (−3)² = 13, значит, AB = BC.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
AB² = (1 − 0)² + (−4 − 1)² = 26;
AC² = (5 − 0)² + (2 − 1)² = 26.
Следовательно, AB = AC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.Найдём площадь по координатам векторов AB = (1; −5) и AC = (5; 1):
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (−2 + 4)² + (4 − 1)² = 13;
BC² = (0 + 2)² + (1 − 4)² = 13.
Следовательно, AB = BC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.AC = 4, а высота, проведённая из B к горизонтальному основанию AC, равна 4 − 1 = 3.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Кратко а) AB² = 1² + (−5)² = 26, AC² = 5² + 1² = 26, значит, AB = AC.
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) AB² = 2² + 3² = 13, BC² = 2² + (−3)² = 13, значит, AB = BC.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1).
