Упр.958 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Выразить вектор AC через a и b
Выразить вектор AC через a и bС пояснением
1) По правилу треугольника: AC = AB + BC.
2) Так как a = AB, b = BC, получаем: AC = a + b.
Ответ: AC = a + b.
Кратко AC = AB + BC = a + b.
Ответ: AC = a + b.
2) Так как a = AB, b = BC, получаем: AC = a + b.
Ответ: AC = a + b.
Кратко AC = AB + BC = a + b.
Ответ: AC = a + b.
Разбор 2 Выразить вектор AC через a и b
Выразить вектор AC через a и bС пояснением
1) В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому AB = DC = −CD = −b.
2) Так как a = CB, то BC = −a.
3) По правилу треугольника AC = AB + BC = −b − a = −a − b.
Ответ: AC = −a − b.
Кратко AC = AB + BC = −b − a = −a − b.
Ответ: AC = −a − b.
2) Так как a = CB, то BC = −a.
3) По правилу треугольника AC = AB + BC = −b − a = −a − b.
Ответ: AC = −a − b.
Кратко AC = AB + BC = −b − a = −a − b.
Ответ: AC = −a − b.
Разбор 3 Выразить вектор AC через a и b
Выразить вектор AC через a и bС пояснением
1) По правилу треугольника: вектор AC = вектор AB + вектор BC.
2) В параллелограмме вектор BC = вектор AD, а вектор AD = −вектор DA = −b.
3) Так как вектор AB = a, то вектор AC = a − b.
Ответ: вектор AC = a − b.
Кратко Вектор AC = вектор AB + вектор BC = a − b.
Ответ: вектор AC = a − b.
2) В параллелограмме вектор BC = вектор AD, а вектор AD = −вектор DA = −b.
3) Так как вектор AB = a, то вектор AC = a − b.
Ответ: вектор AC = a − b.
Кратко Вектор AC = вектор AB + вектор BC = a − b.
Ответ: вектор AC = a − b.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство сумм квадратов расстоянийС пояснением
1) Обозначим через O точку пересечения диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = CO, BO = DO и AO = BO.2) По теореме косинусов для треугольников AOM и COM:
AM² = AO² + OM² − 2AO · OM · cos ∠AOM,
CM² = CO² + OM² − 2CO · OM · cos ∠COM.
Углы AOM и COM смежные, поэтому их косинусы противоположны. Так как AO = CO, при сложении равенств получаем:
AM² + CM² = 2AO² + 2OM².3) Аналогично для треугольников BOM и DOM:
BM² + DM² = 2BO² + 2OM².4) Поскольку AO = BO, правые части полученных равенств равны. Следовательно,
AM² + CM² = BM² + DM².Ответ: равенство доказано.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. По теореме косинусов для пар треугольников AOM, COM и BOM, DOM:
AM² + CM² = 2AO² + 2OM²,
BM² + DM² = 2BO² + 2OM².
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому AO = BO. Значит,
AM² + CM² = BM² + DM².Ответ: равенство доказано.
AM² = AO² + OM² − 2AO · OM · cos ∠AOM,
CM² = CO² + OM² − 2CO · OM · cos ∠COM.
Углы AOM и COM смежные, поэтому их косинусы противоположны. Так как AO = CO, при сложении равенств получаем:
AM² + CM² = 2AO² + 2OM².3) Аналогично для треугольников BOM и DOM:
BM² + DM² = 2BO² + 2OM².4) Поскольку AO = BO, правые части полученных равенств равны. Следовательно,
AM² + CM² = BM² + DM².Ответ: равенство доказано.
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника. По теореме косинусов для пар треугольников AOM, COM и BOM, DOM:
AM² + CM² = 2AO² + 2OM²,
BM² + DM² = 2BO² + 2OM².
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому AO = BO. Значит,
AM² + CM² = BM² + DM².Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b, если: а) а = АВ, b = ВС; б) а = СВ, b = CD; в) а = АВ, b = DA.
Задание учебника 2023 года
ан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.
