Упр.956 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Выразить векторы через a и bС пояснением
1) Так как M — середина AB и a = AM, то AM = MB = a. Поэтому BM = −a.
2) Так как N — середина AC и b = AN, то AN = NC = b. Поэтому NC = b.
3) По правилу сложения векторов:
MN = MA + AN = −a + b = b − a.
4) Аналогично:
BN = BA + AN = −2a + b = b − 2a.
Ответ: BM = −a; NC = b; MN = b − a; BN = b − 2a.
Кратко BM = −a;
NC = b;
MN = b − a;
BN = b − 2a.Ответ: −a; b; b − a; b − 2a.
2) Так как N — середина AC и b = AN, то AN = NC = b. Поэтому NC = b.
3) По правилу сложения векторов:
MN = MA + AN = −a + b = b − a.
4) Аналогично:
BN = BA + AN = −2a + b = b − 2a.
Ответ: BM = −a; NC = b; MN = b − a; BN = b − 2a.
Кратко BM = −a;
NC = b;
MN = b − a;
BN = b − 2a.Ответ: −a; b; b − a; b − 2a.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать признак равнобедренной трапеции по диагоналямС пояснением
Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, причём AD — большее основание. Проведём высоты BF и CE к основанию AD.Прямое утверждение
Дано: AB = CD. Доказать: AC = BD.1) Четырёхугольник FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.
2) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BF = CE. Значит, AF = DE.
3) AE = AF + FE, а DF = DE + FE. Поэтому AE = DF.
4) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по двум катетам: CE = BF и AE = DF. Следовательно, AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.Дано: AC = BD. Доказать: AB = CD.1) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету: AC = BD, CE = BF. Значит, AE = DF.
2) Так как AE = AF + FE, DF = DE + FE, то AF = DE.
3) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по двум катетам: BF = CE и AF = DE. Следовательно, AB = CD, поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Если основания расположены иначе, доказательство проводится аналогично.Ответ: в равнобедренной трапеции диагонали равны; верно и обратное утверждение: трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Опустим высоты BF и CE на большее основание AD. Тогда FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.Если AB = CD, то прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету. Отсюда AF = DE, значит, AE = DF. Тогда треугольники ACE и DBF равны по двум катетам, поэтому AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.Если AC = BD, то прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету. Поэтому AE = DF, откуда AF = DE. Следовательно, треугольники ABF и DCE равны по двум катетам, значит, AB = CD.Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны; трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Дано: AB = CD. Доказать: AC = BD.1) Четырёхугольник FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.
2) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BF = CE. Значит, AF = DE.
3) AE = AF + FE, а DF = DE + FE. Поэтому AE = DF.
4) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по двум катетам: CE = BF и AE = DF. Следовательно, AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.Дано: AC = BD. Доказать: AB = CD.1) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету: AC = BD, CE = BF. Значит, AE = DF.
2) Так как AE = AF + FE, DF = DE + FE, то AF = DE.
3) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по двум катетам: BF = CE и AF = DE. Следовательно, AB = CD, поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Если основания расположены иначе, доказательство проводится аналогично.Ответ: в равнобедренной трапеции диагонали равны; верно и обратное утверждение: трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Опустим высоты BF и CE на большее основание AD. Тогда FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.Если AB = CD, то прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету. Отсюда AF = DE, значит, AE = DF. Тогда треугольники ACE и DBF равны по двум катетам, поэтому AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.Если AC = BD, то прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету. Поэтому AE = DF, откуда AF = DE. Следовательно, треугольники ABF и DCE равны по двум катетам, значит, AB = CD.Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны; трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = AM и b = AN.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
