Упр.902 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что AM = ANС пояснением
1) Так как B₁ — середина дуги AB, то хорды AB₁ и B₁B равны. Кроме того, OA = OB. Значит, точки O и B₁ равноудалены от A и B, поэтому OB₁ — серединный перпендикуляр к AB. Следовательно, OB₁ ⟂ AB.2) Аналогично, поскольку C₁ — середина дуги AC, получаем OC₁ ⟂ AC.3) В треугольнике OB₁C₁ стороны OB₁ и OC₁ равны как радиусы окружности. Поэтому углы при основании B₁C₁ равны:
∠OB₁C₁ = ∠B₁C₁O.4) Прямые AB и AC перпендикулярны соответственно OB₁ и OC₁, поэтому хорда B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Следовательно,
∠AMN = ∠MNA.5) В треугольнике AMN против равных углов лежат равные стороны, значит, AM = AN.Ответ: AM = AN.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC, то OB₁ ⟂ AB и OC₁ ⟂ AC. Треугольник OB₁C₁ равнобедренный, поэтому B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Значит, ∠AMN = ∠MNA, откуда AM = AN.Ответ: AM = AN.
∠OB₁C₁ = ∠B₁C₁O.4) Прямые AB и AC перпендикулярны соответственно OB₁ и OC₁, поэтому хорда B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Следовательно,
∠AMN = ∠MNA.5) В треугольнике AMN против равных углов лежат равные стороны, значит, AM = AN.Ответ: AM = AN.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC, то OB₁ ⟂ AB и OC₁ ⟂ AC. Треугольник OB₁C₁ равнобедренный, поэтому B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Значит, ∠AMN = ∠MNA, откуда AM = AN.Ответ: AM = AN.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по основаниям его высотС пояснением
Обозначим данные точки D, E и F.1) Построим треугольник DEF и биссектрисы его внутренних и внешних углов.
2) Сторона искомого треугольника, проходящая через D, должна лежать на одной из биссектрис угла EDF. Аналогично стороны через E и F лежат на биссектрисах соответствующих углов треугольника DEF.
3) Выберем либо три внешние биссектрисы, либо одну внешнюю и две внутренние. Точки пересечения выбранных прямых будут вершинами искомого треугольника. При таком выборе прямая из каждой вершины к противоположной точке D, E или F перпендикулярна соответствующей стороне, поэтому данные точки являются основаниями высот.
4) Возможны четыре выбора: три внешние биссектрисы или одна из трёх внешних биссектрис вместе с двумя внутренними. Остальные наборы биссектрис сходятся в одной точке и треугольника не образуют.Ответ: 4 решения.
Кратко Обозначим точки D, E, F. Проведём внутренние и внешние биссектрисы треугольника DEF. Стороны искомого треугольника проходят по трём внешним биссектрисам либо по одной внешней и двум внутренним. Получаем 1 + 3 = 4 треугольника.Ответ: 4 решения.
2) Сторона искомого треугольника, проходящая через D, должна лежать на одной из биссектрис угла EDF. Аналогично стороны через E и F лежат на биссектрисах соответствующих углов треугольника DEF.
3) Выберем либо три внешние биссектрисы, либо одну внешнюю и две внутренние. Точки пересечения выбранных прямых будут вершинами искомого треугольника. При таком выборе прямая из каждой вершины к противоположной точке D, E или F перпендикулярна соответствующей стороне, поэтому данные точки являются основаниями высот.
4) Возможны четыре выбора: три внешние биссектрисы или одна из трёх внешних биссектрис вместе с двумя внутренними. Остальные наборы биссектрис сходятся в одной точке и треугольника не образуют.Ответ: 4 решения.
Кратко Обозначим точки D, E, F. Проведём внутренние и внешние биссектрисы треугольника DEF. Стороны искомого треугольника проходят по трём внешним биссектрисам либо по одной внешней и двум внутренним. Получаем 1 + 3 = 4 треугольника.Ответ: 4 решения.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки В1 и С1 — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN.
Задание учебника 2023 года
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?
