Упр.907 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите углы ∠BAM и ∠BCMС пояснением
Повернём точки A и M вокруг B на 60° по часовой стрелке. При этом A перейдёт в C, а M — в некоторую точку N.1) BM = BN и ∠MBN = 60°, поэтому треугольник BMN равносторонний и ∠BMN = 60°.2) Так как ∠BMC = 30°, луч MC делит угол BMN пополам. В равностороннем треугольнике биссектриса является серединным перпендикуляром к BN, поэтому CB = CN.3) При повороте отрезок AM переходит в CN, значит AM = CN. Следовательно, AM = CN = CB = AB.4) Треугольник ABM равнобедренный, поэтому
∠ABM = ∠BMA = 17°.5) ∠BAM = 180° − 17° − 17° = 146°.6) ∠MBC = 60° − 17° = 43°.
∠BCM = 180° − 30° − 43° = 107°.Ответ: ∠BAM = 146°, ∠BCM = 107°.
Кратко Поворотом на 60° устанавливаем, что AM = AB. Поэтому треугольник ABM равнобедренный и ∠ABM = 17°.1) ∠BAM = 180° − 17° − 17° = 146°.
2) ∠MBC = 60° − 17° = 43°.
3) ∠BCM = 180° − 30° − 43° = 107°.Ответ: ∠BAM = 146°, ∠BCM = 107°.
∠ABM = ∠BMA = 17°.5) ∠BAM = 180° − 17° − 17° = 146°.6) ∠MBC = 60° − 17° = 43°.
∠BCM = 180° − 30° − 43° = 107°.Ответ: ∠BAM = 146°, ∠BCM = 107°.
Кратко Поворотом на 60° устанавливаем, что AM = AB. Поэтому треугольник ABM равнобедренный и ∠ABM = 17°.1) ∠BAM = 180° − 17° − 17° = 146°.
2) ∠MBC = 60° − 17° = 43°.
3) ∠BCM = 180° − 30° − 43° = 107°.Ответ: ∠BAM = 146°, ∠BCM = 107°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать признак коллинеарности трёх точекС пояснением
1) Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой. Введём на этой прямой координаты x_A, x_B и x_C и положим
k=x_B−x_C, l=x_C−x_A, m=x_A−x_B.
Тогда k+l+m=0, причём, если точки не совпадают все вместе, числа k, l, m не равны нулю одновременно.Для любой точки O выберем точку P на данной прямой. Так как
kx_A+lx_B+mx_C=
(x_B−x_C)x_A+(x_C−x_A)x_B+(x_A−x_B)x_C=0.
Значит, требуемое векторное равенство выполняется при любой точке O. Если A, B и C совпадают, можно взять k=1, l=−1, m=0.2) Обратно, пусть числа k, l, m не равны нулю одновременно, k+l+m=0 и
Если m=0, то l→AB=0. При l≠0 точки A и B совпадают, а через них и точку C можно провести одну прямую. Случай l=0 невозможен, поскольку тогда из k+l+m=0 следует k=0, то есть все три числа равны нулю.Ответ: утверждение доказано в обе стороны.
Кратко Если A, B и C лежат на одной прямой, зададим на ней координаты x_A, x_B, x_C и возьмём
k=x_B−x_C, l=x_C−x_A, m=x_A−x_B.
Тогда k+l+m=0 и
kx_A+lx_B+mx_C=0, поэтому для любой точки O:
k=x_B−x_C, l=x_C−x_A, m=x_A−x_B.
Тогда k+l+m=0, причём, если точки не совпадают все вместе, числа k, l, m не равны нулю одновременно.Для любой точки O выберем точку P на данной прямой. Так как
→OA=→OP+→PA, →OB=→OP+→PB, →OC=→OP+→PC, то k→OA+l→OB+m→OC=(k+l+m)→OP+k→PA+l→PB+m→PC.Первая часть равна нулю. Векторы →PA, →PB, →PC направлены вдоль одной прямой и имеют координаты x_A, x_B, x_C, поэтому
kx_A+lx_B+mx_C=
(x_B−x_C)x_A+(x_C−x_A)x_B+(x_A−x_B)x_C=0.
Значит, требуемое векторное равенство выполняется при любой точке O. Если A, B и C совпадают, можно взять k=1, l=−1, m=0.2) Обратно, пусть числа k, l, m не равны нулю одновременно, k+l+m=0 и
k→OA+l→OB+m→OC=0.
Так как →OB=→OA+→AB и →OC=→OA+→AC, получаем (k+l+m)→OA+l→AB+m→AC=0,то есть
l→AB+m→AC=0.Если m≠0, то →AC=−l/m·→AB, поэтому векторы →AB и →AC лежат на одной прямой. Следовательно, точки A, B и C коллинеарны.
Если m=0, то l→AB=0. При l≠0 точки A и B совпадают, а через них и точку C можно провести одну прямую. Случай l=0 невозможен, поскольку тогда из k+l+m=0 следует k=0, то есть все три числа равны нулю.Ответ: утверждение доказано в обе стороны.
Кратко Если A, B и C лежат на одной прямой, зададим на ней координаты x_A, x_B, x_C и возьмём
k=x_B−x_C, l=x_C−x_A, m=x_A−x_B.
Тогда k+l+m=0 и
kx_A+lx_B+mx_C=0, поэтому для любой точки O:
k→OA+l→OB+m→OC=0. Обратно, из →OB=→OA+→AB, →OC=→OA+→AC и k+l+m=0 следует l→AB+m→AC=0. Значит, векторы →AB и →AC направлены вдоль одной прямой, поэтому точки A, B и C лежат на одной прямой.Ответ: утверждение доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка М так, что уголBMC = 30°, уголBMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ.
Задание учебника 2023 года
Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + l + m = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство kOA + lOВ + mОС = 0.
