Упр.908 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать принадлежность новых вершин биссектрисамС пояснением
Обозначим через O точку пересечения биссектрис треугольника ABC, а через A₁ — точку пересечения прямых, проведённых через B и C.1) По условию BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO. Поэтому
∠OBA₁ = ∠OCA₁ = 90°.
Следовательно, точки O, B, A₁, C лежат на одной окружности с диаметром OA₁.2) В этой окружности углы BOA₁ и BCA₁ опираются на одну хорду BA₁, поэтому
∠BOA₁ = ∠BCA₁.
Так как CA₁ ⟂ CO, а CO — биссектриса угла C, то
∠BCA₁ = 90° − C/2.
Значит,
∠BOA₁ = 90° − C/2.3) В треугольнике AOB:
∠BAO = A/2, ∠ABO = B/2,
поэтому
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Тогда
∠BOA₁ + ∠BOA = 180°.
Следовательно, точки A, O и A₁ лежат на одной прямой, то есть A₁ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A.4) Аналогично доказывается, что две другие вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов B и C.Ответ: вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Кратко Пусть O — точка пересечения биссектрис, а A₁ — пересечение прямых, проведённых через B и C. Так как BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO, точки O, B, A₁, C лежат на окружности с диаметром OA₁.Отсюда ∠BOA₁ = ∠BCA₁ = 90° − C/2. При этом в треугольнике AOB
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Значит, ∠BOA₁ + ∠BOA = 180°, поэтому A, O и A₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается утверждение для двух других вершин.Ответ: все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
∠OBA₁ = ∠OCA₁ = 90°.
Следовательно, точки O, B, A₁, C лежат на одной окружности с диаметром OA₁.2) В этой окружности углы BOA₁ и BCA₁ опираются на одну хорду BA₁, поэтому
∠BOA₁ = ∠BCA₁.
Так как CA₁ ⟂ CO, а CO — биссектриса угла C, то
∠BCA₁ = 90° − C/2.
Значит,
∠BOA₁ = 90° − C/2.3) В треугольнике AOB:
∠BAO = A/2, ∠ABO = B/2,
поэтому
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Тогда
∠BOA₁ + ∠BOA = 180°.
Следовательно, точки A, O и A₁ лежат на одной прямой, то есть A₁ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A.4) Аналогично доказывается, что две другие вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов B и C.Ответ: вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Кратко Пусть O — точка пересечения биссектрис, а A₁ — пересечение прямых, проведённых через B и C. Так как BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO, точки O, B, A₁, C лежат на окружности с диаметром OA₁.Отсюда ∠BOA₁ = ∠BCA₁ = 90° − C/2. При этом в треугольнике AOB
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Значит, ∠BOA₁ + ∠BOA = 180°, поэтому A, O и A₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается утверждение для двух других вершин.Ответ: все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать коллинеарность точек с помощью векторовС пояснением
Пусть ABCD — четырёхугольник, K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а O — точка пересечения KM и LN. Точки P и Q — середины диагоналей AC и BD.1) Обозначим радиус-векторы вершин через a, b, c, d. Тогда
k = (a + b)/2, m = (c + d)/2,
l = (b + c)/2, n = (d + a)/2.2) Середина отрезка KM имеет радиус-вектор
(k + m)/2 = (a + b + c + d)/4.
Середина отрезка LN имеет такой же радиус-вектор:
(l + n)/2 = (a + b + c + d)/4.
Значит, отрезки KM и LN пересекаются в их общей середине O, причём
o = (a + b + c + d)/4.3) Для середин диагоналей получаем:
p = (a + c)/2, q = (b + d)/2.
Поэтому
(p + q)/2 = (a + b + c + d)/4 = o.
Следовательно, O — середина отрезка PQ, поэтому точки P, O и Q лежат на одной прямой.Ответ: середины диагоналей и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Кратко Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD, а K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA. Если O = KM ∩ LN, тоo = (a + b + c + d)/4.При этом
p = (a + c)/2, q = (b + d)/2,
поэтому
(p + q)/2 = (a + b + c + d)/4 = o.Значит, O — середина PQ, следовательно, точки P, O и Q лежат на одной прямой.Ответ: доказано.
k = (a + b)/2, m = (c + d)/2,
l = (b + c)/2, n = (d + a)/2.2) Середина отрезка KM имеет радиус-вектор
(k + m)/2 = (a + b + c + d)/4.
Середина отрезка LN имеет такой же радиус-вектор:
(l + n)/2 = (a + b + c + d)/4.
Значит, отрезки KM и LN пересекаются в их общей середине O, причём
o = (a + b + c + d)/4.3) Для середин диагоналей получаем:
p = (a + c)/2, q = (b + d)/2.
Поэтому
(p + q)/2 = (a + b + c + d)/4 = o.
Следовательно, O — середина отрезка PQ, поэтому точки P, O и Q лежат на одной прямой.Ответ: середины диагоналей и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Кратко Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD, а K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA. Если O = KM ∩ LN, тоo = (a + b + c + d)/4.При этом
p = (a + c)/2, q = (b + d)/2,
поэтому
(p + q)/2 = (a + b + c + d)/4 = o.Значит, O — середина PQ, следовательно, точки P, O и Q лежат на одной прямой.Ответ: доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Задание учебника 2023 года
Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
