Упр.899 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать существование точки НагеляС пояснением
Пусть a = BC, b = CA, c = AB, а p = (a + b + c) : 2. Обозначим через D, E, F точки касания соответствующих вневписанных окружностей со сторонами BC, CA, AB.1) Найдём части, на которые точка D делит сторону BC. Равные касательные, проведённые из одной точки к окружности, имеют равные длины. Поэтому, обозначив BD = x, CD = y, получим:
x + y = a,
c + x = b + y.
Отсюда BD = p − c, CD = p − b.2) Аналогично для остальных сторон:
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.3) Проверим равенство из обратной теоремы Чевы:
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.Следовательно, по обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.Ответ: отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, p — полупериметр треугольника. Для точек касания D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB из равенства касательных получаем:
BD = p − c, CD = p − b;
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.Тогда
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общая точка этих отрезков — точка Нагеля.
x + y = a,
c + x = b + y.
Отсюда BD = p − c, CD = p − b.2) Аналогично для остальных сторон:
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.3) Проверим равенство из обратной теоремы Чевы:
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.Следовательно, по обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.Ответ: отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, p — полупериметр треугольника. Для точек касания D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB из равенства касательных получаем:
BD = p − c, CD = p − b;
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.Тогда
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общая точка этих отрезков — точка Нагеля.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить наименьшую хорду через данную точкуС пояснением
Пусть O — центр окружности, P — данная точка.1) Проведём отрезок OP.
2) Через точку P проведём прямую, перпендикулярную OP.
3) Обозначим точки её пересечения с окружностью A и B. Хорда AB — искомая.Доказательство. Для любой другой хорды через P опустим из O перпендикуляр OM на содержащую её прямую. В прямоугольном треугольнике OMP гипотенуза OP больше катета OM, поэтому OM < OP. Следовательно, прямая AB находится от центра дальше любой другой прямой, проходящей через P. Чем дальше хорда от центра окружности, тем она короче. Значит, AB — наименьшая хорда.Если P совпадает с O, любая проходящая через неё хорда является диаметром, поэтому все такие хорды равны.Ответ: через P нужно провести прямую, перпендикулярную OP; отрезок между точками её пересечения с окружностью — искомая хорда.
Кратко Пусть O — центр окружности, P — данная точка. Проведём OP, а через P — перпендикуляр к OP. Его точки пересечения с окружностью обозначим A и B. Тогда AB — наименьшая хорда, проходящая через P.Ответ: хорда AB, перпендикулярная OP в точке P.
2) Через точку P проведём прямую, перпендикулярную OP.
3) Обозначим точки её пересечения с окружностью A и B. Хорда AB — искомая.Доказательство. Для любой другой хорды через P опустим из O перпендикуляр OM на содержащую её прямую. В прямоугольном треугольнике OMP гипотенуза OP больше катета OM, поэтому OM < OP. Следовательно, прямая AB находится от центра дальше любой другой прямой, проходящей через P. Чем дальше хорда от центра окружности, тем она короче. Значит, AB — наименьшая хорда.Если P совпадает с O, любая проходящая через неё хорда является диаметром, поэтому все такие хорды равны.Ответ: через P нужно провести прямую, перпендикулярную OP; отрезок между точками её пересечения с окружностью — искомая хорда.
Кратко Пусть O — центр окружности, P — данная точка. Проведём OP, а через P — перпендикуляр к OP. Его точки пересечения с окружностью обозначим A и B. Тогда AB — наименьшая хорда, проходящая через P.Ответ: хорда AB, перпендикулярная OP в точке P.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Задание учебника 2023 года
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.
