Упр.906 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество концов построенных отрезковС пояснением
Пусть радиус окружности равен R, а P — конец отрезка, отложенного на радиусе OM. Проведём через O диаметр CD, перпендикулярный AB, где C и D лежат по разные стороны от AB.1) Выберем систему координат с началом в O и осью Ox вдоль AB. Пусть M=(x; y). Тогда x²+y²=R², а расстояние от M до AB равно |y|. Поэтому OP=|y|.2) Если M находится выше AB, то y≥0. Так как P лежит на луче OM и OP:OM=y:R, получаем координаты P:
X=xy/R, Y=y²/R.
Отсюда
X²+Y²=y²(x²+y²)/R²=y²=RY.
Равенство X²+Y²=RY задаёт окружность с диаметром OC.3) Если M находится ниже AB, аналогично получаем
X²+Y²=−RY.
Это окружность с диаметром OD.4) При изменении положения M получаются все точки обеих окружностей. Эти окружности равны и касаются друг друга в точке O.Ответ: две окружности с диаметрами OC и OD, где CD — диаметр исходной окружности, перпендикулярный AB.
Кратко Проведём диаметр CD⊥AB. Если M движется по верхней полуокружности, конец построенного отрезка описывает окружность с диаметром OC; если по нижней — окружность с диаметром OD.Ответ: две равные окружности с диаметрами OC и OD, касающиеся в точке O.
X=xy/R, Y=y²/R.
Отсюда
X²+Y²=y²(x²+y²)/R²=y²=RY.
Равенство X²+Y²=RY задаёт окружность с диаметром OC.3) Если M находится ниже AB, аналогично получаем
X²+Y²=−RY.
Это окружность с диаметром OD.4) При изменении положения M получаются все точки обеих окружностей. Эти окружности равны и касаются друг друга в точке O.Ответ: две окружности с диаметрами OC и OD, где CD — диаметр исходной окружности, перпендикулярный AB.
Кратко Проведём диаметр CD⊥AB. Если M движется по верхней полуокружности, конец построенного отрезка описывает окружность с диаметром OC; если по нижней — окружность с диаметром OD.Ответ: две равные окружности с диаметрами OC и OD, касающиеся в точке O.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать направление векторов вдоль биссектрисС пояснением
Обозначим единичные векторы вдоль сторон угла A:
\(\displaystyle \vec u=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}\), \(\vec v=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\).1) Отложим от точки A векторы \(\overrightarrow{AD}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AE}=\vec v\). Их длины равны 1, поэтому построенный на них параллелограмм ADFE является ромбом. Его диагональ
\(\overrightarrow{AF}=\vec u+\vec v\).
Диагональ ромба делит угол при вершине A пополам, значит, \(\vec u+\vec v\) направлен вдоль биссектрисы угла A.2) Вектор \(-\vec v\) направлен противоположно \(\overrightarrow{AC}\). Отложим от A векторы \(\overrightarrow{AD}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AE_1}=-\vec v\). Построенный на них параллелограмм также является ромбом, а его диагональ равна
\(\vec u+(-\vec v)=\vec u-\vec v\).
Угол между \(\vec u\) и \(-\vec v\) — внешний угол треугольника при вершине A. Поэтому \(\vec u-\vec v\) направлен вдоль его биссектрисы.Ответ: сумма направлена вдоль биссектрисы угла A, а разность — вдоль биссектрисы внешнего угла при A.
Кратко Пусть \(\vec u=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}\), \(\vec v=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\). Оба вектора единичные.1) Построенный на \(\vec u\) и \(\vec v\) параллелограмм — ромб. Его диагональ \(\vec u+\vec v\) делит угол A пополам.2) Векторы \(\vec u\) и \(-\vec v\) также образуют ромб. Его диагональ \(\vec u-\vec v\) делит пополам угол между направлением AB и направлением, противоположным AC, то есть внешний угол при A.Ответ: \(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\) направлен вдоль внутренней биссектрисы, а \(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\) — вдоль биссектрисы внешнего угла.
\(\displaystyle \vec u=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}\), \(\vec v=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\).1) Отложим от точки A векторы \(\overrightarrow{AD}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AE}=\vec v\). Их длины равны 1, поэтому построенный на них параллелограмм ADFE является ромбом. Его диагональ
\(\overrightarrow{AF}=\vec u+\vec v\).
Диагональ ромба делит угол при вершине A пополам, значит, \(\vec u+\vec v\) направлен вдоль биссектрисы угла A.2) Вектор \(-\vec v\) направлен противоположно \(\overrightarrow{AC}\). Отложим от A векторы \(\overrightarrow{AD}=\vec u\) и \(\overrightarrow{AE_1}=-\vec v\). Построенный на них параллелограмм также является ромбом, а его диагональ равна
\(\vec u+(-\vec v)=\vec u-\vec v\).
Угол между \(\vec u\) и \(-\vec v\) — внешний угол треугольника при вершине A. Поэтому \(\vec u-\vec v\) направлен вдоль его биссектрисы.Ответ: сумма направлена вдоль биссектрисы угла A, а разность — вдоль биссектрисы внешнего угла при A.
Кратко Пусть \(\vec u=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}\), \(\vec v=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\). Оба вектора единичные.1) Построенный на \(\vec u\) и \(\vec v\) параллелограмм — ромб. Его диагональ \(\vec u+\vec v\) делит угол A пополам.2) Векторы \(\vec u\) и \(-\vec v\) также образуют ромб. Его диагональ \(\vec u-\vec v\) делит пополам угол между направлением AB и направлением, противоположным AC, то есть внешний угол при A.Ответ: \(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\) направлен вдоль внутренней биссектрисы, а \(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}\) — вдоль биссектрисы внешнего угла.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
Задание учебника 2023 года
Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB/|AB|=AC/|AC| направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор AB/|AB|-AC/|AC| - вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.
