Упр.896 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему Ван-ОбеляС пояснением
Обозначим площади треугольников BOC, COA и AOB соответственно через S₁, S₂ и S₃.1) Треугольники AOC и AOB имеют общее основание AO. Расстояния от C и B до прямой AO пропорциональны отрезкам CA₁ и A₁B, поэтому
S₂/S₃ = CA₁/A₁B.2) Аналогично треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO. Так как B₁ лежит на AC, получаем
S₁/S₃ = CB₁/B₁A.3) Треугольники ABC и AOB имеют общее основание AB. Их высоты пропорциональны отрезкам CC₁ и OC₁, так как C, O и C₁ лежат на одной прямой. Следовательно,
(S₁ + S₂ + S₃)/S₃ = CC₁/OC₁ = (CO + OC₁)/OC₁ = CO/OC₁ + 1.Отсюда
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃ = S₂/S₃ + S₁/S₃ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A.Ответ: CO/OC₁ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть S₁ = S△BOC, S₂ = S△COA, S₃ = S△AOB.1) S₂/S₃ = CA₁/A₁B, так как треугольники COA и BOA имеют общее основание AO.
2) S₁/S₃ = CB₁/B₁A, так как треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO.
3) Поскольку C, O, C₁ лежат на одной прямой,
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃.Значит,
CO/OC₁ = S₁/S₃ + S₂/S₃ = CB₁/B₁A + CA₁/A₁B.Ответ: равенство доказано.
S₂/S₃ = CA₁/A₁B.2) Аналогично треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO. Так как B₁ лежит на AC, получаем
S₁/S₃ = CB₁/B₁A.3) Треугольники ABC и AOB имеют общее основание AB. Их высоты пропорциональны отрезкам CC₁ и OC₁, так как C, O и C₁ лежат на одной прямой. Следовательно,
(S₁ + S₂ + S₃)/S₃ = CC₁/OC₁ = (CO + OC₁)/OC₁ = CO/OC₁ + 1.Отсюда
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃ = S₂/S₃ + S₁/S₃ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A.Ответ: CO/OC₁ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть S₁ = S△BOC, S₂ = S△COA, S₃ = S△AOB.1) S₂/S₃ = CA₁/A₁B, так как треугольники COA и BOA имеют общее основание AO.
2) S₁/S₃ = CB₁/B₁A, так как треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO.
3) Поскольку C, O, C₁ лежат на одной прямой,
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃.Значит,
CO/OC₁ = S₁/S₃ + S₂/S₃ = CB₁/B₁A + CA₁/A₁B.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать теорему о прямой СимсонаС пояснением
Пусть P — точка описанной окружности треугольника ABC, а D, E и F — основания перпендикуляров, опущенных из P на прямые BC, CA и AB соответственно. Будем рассматривать углы между прямыми с точностью до 180°, чтобы доказательство подходило и для продолжений сторон.1) Так как PD ⟂ BC и PE ⟂ CA, то ∠PDC = ∠PEC = 90°. Поэтому четырёхугольник PDCE вписанный. Отсюда
∠DEP = ∠DCP
как вписанные углы, опирающиеся на хорду DP.2) Аналогично PE ⟂ CA и PF ⟂ AB, поэтому четырёхугольник PEAF вписанный. Следовательно,
∠PEF = ∠PAF
как вписанные углы, опирающиеся на хорду PF.3) Точки A, B, C, P лежат на одной окружности, поэтому
∠BCP = ∠BAP
как вписанные углы, опирающиеся на хорду BP.4) Учитывая, что C, D, B лежат на одной прямой, а A, F, B — на одной прямой, получаем:
∠DEP + ∠PEF = ∠DCP + ∠PAF = ∠BCP + ∠PAB = ∠BAP + ∠PAB = 0° с точностью до 180°.
Значит, прямые DE и EF совпадают, то есть точки D, E и F лежат на одной прямой.Если P совпадает с вершиной треугольника, два основания перпендикуляров совпадают с этой вершиной, и утверждение также очевидно.Ответ: основания перпендикуляров D, E и F лежат на одной прямой — прямой Симсона.
Кратко Пусть D, E, F — основания перпендикуляров из P на прямые BC, CA, AB.1) Четырёхугольники PDCE и PEAF вписанные, так как имеют по два прямых угла. Поэтому
∠DEP = ∠DCP, ∠PEF = ∠PAF.2) Так как A, B, C, P лежат на одной окружности, то
∠BCP = ∠BAP.3) Учитывая, что CD лежит на BC, а AF лежит на AB, получаем для углов между прямыми:
∠DEP + ∠PEF = ∠BCP + ∠PAB = ∠BAP + ∠PAB = 0° с точностью до 180°.
Следовательно, DE и EF — одна прямая.Ответ: точки D, E и F лежат на одной прямой (прямой Симсона).
∠DEP = ∠DCP
как вписанные углы, опирающиеся на хорду DP.2) Аналогично PE ⟂ CA и PF ⟂ AB, поэтому четырёхугольник PEAF вписанный. Следовательно,
∠PEF = ∠PAF
как вписанные углы, опирающиеся на хорду PF.3) Точки A, B, C, P лежат на одной окружности, поэтому
∠BCP = ∠BAP
как вписанные углы, опирающиеся на хорду BP.4) Учитывая, что C, D, B лежат на одной прямой, а A, F, B — на одной прямой, получаем:
∠DEP + ∠PEF = ∠DCP + ∠PAF = ∠BCP + ∠PAB = ∠BAP + ∠PAB = 0° с точностью до 180°.
Значит, прямые DE и EF совпадают, то есть точки D, E и F лежат на одной прямой.Если P совпадает с вершиной треугольника, два основания перпендикуляров совпадают с этой вершиной, и утверждение также очевидно.Ответ: основания перпендикуляров D, E и F лежат на одной прямой — прямой Симсона.
Кратко Пусть D, E, F — основания перпендикуляров из P на прямые BC, CA, AB.1) Четырёхугольники PDCE и PEAF вписанные, так как имеют по два прямых угла. Поэтому
∠DEP = ∠DCP, ∠PEF = ∠PAF.2) Так как A, B, C, P лежат на одной окружности, то
∠BCP = ∠BAP.3) Учитывая, что CD лежит на BC, а AF лежит на AB, получаем для углов между прямыми:
∠DEP + ∠PEF = ∠BCP + ∠PAB = ∠BAP + ∠PAB = 0° с точностью до 180°.
Следовательно, DE и EF — одна прямая.Ответ: точки D, E и F лежат на одной прямой (прямой Симсона).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС, причём отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в точке О. Докажите, что CO/OC_1=CA_1/A_1B+CB_1/B_1A (теорема Ван-Обеля).
Задание учебника 2023 года
Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
