Упр.897 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать отношение частей биссектрисы AA₁С пояснением
1) Опустим из точки O перпендикуляры к сторонам AB, AC и BC. Так как O — точка пересечения биссектрис треугольника, расстояния от неё до всех сторон равны. Обозначим их через r.2) Треугольники ABO и A₁BO имеют общую высоту, проведённую из B к прямой AA₁. Поэтому
S_ABO/S_A₁BO = AO/OA₁.
Аналогично
S_ACO/S_A₁CO = AO/OA₁.
Следовательно,
AO/OA₁ = (S_ABO + S_ACO)/(S_A₁BO + S_A₁CO) = (S_ABO + S_ACO)/S_BOC.3) Найдём площади через основания и высоту r:
S_ABO + S_ACO = AB·r/2 + AC·r/2 = (AB + AC)r/2,
S_BOC = BC·r/2.4) Поэтому
AO/OA₁ = ((AB + AC)r/2)/(BC·r/2) = (AB + AC)/BC.Ответ: AO/OA₁ = (AB + AC)/BC, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть r — расстояние от O до каждой стороны треугольника. Эти расстояния равны, так как O лежит на всех биссектрисах.Треугольники с вершинами B и C и основаниями на AA₁ дают
AO/OA₁ = (S_ABO + S_ACO)/S_BOC.При этом
S_ABO + S_ACO = (AB + AC)r/2,
S_BOC = BC·r/2.Значит,
AO/OA₁ = (AB + AC)/BC.Ответ: AO/OA₁ = (AB + AC)/BC.
S_ABO/S_A₁BO = AO/OA₁.
Аналогично
S_ACO/S_A₁CO = AO/OA₁.
Следовательно,
AO/OA₁ = (S_ABO + S_ACO)/(S_A₁BO + S_A₁CO) = (S_ABO + S_ACO)/S_BOC.3) Найдём площади через основания и высоту r:
S_ABO + S_ACO = AB·r/2 + AC·r/2 = (AB + AC)r/2,
S_BOC = BC·r/2.4) Поэтому
AO/OA₁ = ((AB + AC)r/2)/(BC·r/2) = (AB + AC)/BC.Ответ: AO/OA₁ = (AB + AC)/BC, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть r — расстояние от O до каждой стороны треугольника. Эти расстояния равны, так как O лежит на всех биссектрисах.Треугольники с вершинами B и C и основаниями на AA₁ дают
AO/OA₁ = (S_ABO + S_ACO)/S_BOC.При этом
S_ABO + S_ACO = (AB + AC)r/2,
S_BOC = BC·r/2.Значит,
AO/OA₁ = (AB + AC)/BC.Ответ: AO/OA₁ = (AB + AC)/BC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить общую касательную двух окружностейС пояснением
Пусть центры окружностей O₁ и O₂, а их радиусы R и r, где R ≥ r.Общая внешняя касательная:
1) Построим окружность с центром O₁ и радиусом R − r.
2) Из точки O₂ проведём к ней касательную O₂A.
3) Проведём луч O₁A. В точке его пересечения с большей данной окружностью отметим B.
4) Из O₂ проведём радиус O₂C, параллельный и одинаково направленный с O₁B.
5) Проведём прямую BC. Это искомая общая касательная.Действительно, расстояния от центров O₁ и O₂ до прямой BC равны соответственно R и r, поэтому BC касается обеих окружностей.Вторая внешняя касательная строится так же с другой стороны прямой O₁O₂. Для общей внутренней касательной вместо R − r используют R + r, а радиус O₂C направляют противоположно O₁B.Ответ: общая касательная — построенная прямая BC.
Кратко Пусть O₁, O₂ — центры, R ≥ r — радиусы.
1) Постройте вспомогательную окружность (O₁; R − r).
2) Из O₂ проведите к ней касательную O₂A.
3) Луч O₁A пересечёт большую окружность в точке B.
4) Проведите O₂C ∥ O₁B в том же направлении до пересечения с меньшей окружностью.
5) Соедините B и C.Ответ: прямая BC — общая внешняя касательная.
1) Построим окружность с центром O₁ и радиусом R − r.
2) Из точки O₂ проведём к ней касательную O₂A.
3) Проведём луч O₁A. В точке его пересечения с большей данной окружностью отметим B.
4) Из O₂ проведём радиус O₂C, параллельный и одинаково направленный с O₁B.
5) Проведём прямую BC. Это искомая общая касательная.Действительно, расстояния от центров O₁ и O₂ до прямой BC равны соответственно R и r, поэтому BC касается обеих окружностей.Вторая внешняя касательная строится так же с другой стороны прямой O₁O₂. Для общей внутренней касательной вместо R − r используют R + r, а радиус O₂C направляют противоположно O₁B.Ответ: общая касательная — построенная прямая BC.
Кратко Пусть O₁, O₂ — центры, R ≥ r — радиусы.
1) Постройте вспомогательную окружность (O₁; R − r).
2) Из O₂ проведите к ней касательную O₂A.
3) Луч O₁A пересечёт большую окружность в точке B.
4) Проведите O₂C ∥ O₁B в том же направлении до пересечения с меньшей окружностью.
5) Соедините B и C.Ответ: прямая BC — общая внешняя касательная.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Дано:
AA_1-бисс.угол A;
BB_1-бисс.угол B;
CC_1-бисс.угол C;
Доказать:
AO/(OA_1 )=(AB+AC)/BC;
Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC:
(AC_1)/(BC_1)=AC/BC, (AB_1)/(B_1 C)=AB/BC;
2) По теореме Ван-Обеля:
AO/(OA_1)=(AC_1)/(BC_1)+(AB_1)/(CB_1)=(AC+AB)/BC;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
