Упр.901 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать параллельность и соотношения отрезковС пояснением
1) По теореме об угле между касательной и хордой:
∠CAD = ∠ABD, так как AC касается первой окружности в точке A;
∠ABD = ∠ACB, так как BD касается второй окружности в точке B.
Следовательно, ∠CAD = ∠ACB, поэтому AD ∥ BC.2) Рассмотрим треугольники ADB и BAC. Имеем:
∠ADB = ∠BAC — угол между касательной AC и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB;
∠ABD = ∠BCA — угол между касательной BD и хордой BA равен вписанному углу, опирающемуся на хорду BA.
Значит, △ADB ∼ △BAC по двум углам. Поэтому
AD/AB = AB/BC,
откуда AB² = AD · BC.3) Из подобия этих же треугольников:
BD/AC = AD/AB = AB/BC.
Перемножая два последних равных отношения, получаем
BD²/AC² = (AD/AB) · (AB/BC) = AD/BC.
Следовательно, BD² : AC² = AD : BC.Ответ: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой:
∠CAD = ∠ABD = ∠ACB, поэтому AD ∥ BC.Также ∠ADB = ∠BAC и ∠ABD = ∠BCA, следовательно, △ADB ∼ △BAC. Тогда
AD/AB = AB/BC, откуда AB² = AD · BC.Кроме того,
BD/AC = AD/AB = AB/BC,
поэтому
BD²/AC² = (AD/AB) · (AB/BC) = AD/BC.Ответ: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
∠CAD = ∠ABD, так как AC касается первой окружности в точке A;
∠ABD = ∠ACB, так как BD касается второй окружности в точке B.
Следовательно, ∠CAD = ∠ACB, поэтому AD ∥ BC.2) Рассмотрим треугольники ADB и BAC. Имеем:
∠ADB = ∠BAC — угол между касательной AC и хордой AB равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB;
∠ABD = ∠BCA — угол между касательной BD и хордой BA равен вписанному углу, опирающемуся на хорду BA.
Значит, △ADB ∼ △BAC по двум углам. Поэтому
AD/AB = AB/BC,
откуда AB² = AD · BC.3) Из подобия этих же треугольников:
BD/AC = AD/AB = AB/BC.
Перемножая два последних равных отношения, получаем
BD²/AC² = (AD/AB) · (AB/BC) = AD/BC.
Следовательно, BD² : AC² = AD : BC.Ответ: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой:
∠CAD = ∠ABD = ∠ACB, поэтому AD ∥ BC.Также ∠ADB = ∠BAC и ∠ABD = ∠BCA, следовательно, △ADB ∼ △BAC. Тогда
AD/AB = AB/BC, откуда AB² = AD · BC.Кроме того,
BD/AC = AD/AB = AB/BC,
поэтому
BD²/AC² = (AD/AB) · (AB/BC) = AD/BC.Ответ: а) AD ∥ BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по окружности и точкам А, В, МС пояснением
Пусть O — центр данной окружности.1) Проведём радиус OB.
2) Через A проведём прямую, параллельную OB. Её вторую точку пересечения с окружностью обозначим C. Это общая вершина искомого треугольника.
3) Проведём прямую CM и обозначим через N точку её пересечения с OB.
4) Через N проведём прямую, перпендикулярную OB. Точки её пересечения с окружностью обозначим P и Q.
5) Соединим C с P и Q. Треугольник CPQ — искомый.Проверка. Так как CA ∥ OB и PQ ⟂ OB, то CA ⟂ PQ, поэтому CA содержит высоту. Перпендикуляр из центра O к хорде PQ делит её пополам, следовательно, N — середина PQ и CM содержит медиану. Кроме того, BP = BQ как равные хорды, поэтому дуги BP и BQ равны, а ∠PCB = ∠BCQ. Значит, CB содержит биссектрису.Ответ: треугольник CPQ построен.
Кратко 1) Найдём центр O окружности и проведём OB.
2) Через A проведём прямую, параллельную OB; её второе пересечение с окружностью обозначим C.
3) Проведём CM. Пусть N = CM ∩ OB.
4) Через N проведём перпендикуляр к OB. Его пересечения с окружностью обозначим P и Q.
5) Соединим C, P и Q.Ответ: искомый треугольник — CPQ.
2) Через A проведём прямую, параллельную OB. Её вторую точку пересечения с окружностью обозначим C. Это общая вершина искомого треугольника.
3) Проведём прямую CM и обозначим через N точку её пересечения с OB.
4) Через N проведём прямую, перпендикулярную OB. Точки её пересечения с окружностью обозначим P и Q.
5) Соединим C с P и Q. Треугольник CPQ — искомый.Проверка. Так как CA ∥ OB и PQ ⟂ OB, то CA ⟂ PQ, поэтому CA содержит высоту. Перпендикуляр из центра O к хорде PQ делит её пополам, следовательно, N — середина PQ и CM содержит медиану. Кроме того, BP = BQ как равные хорды, поэтому дуги BP и BQ равны, а ∠PCB = ∠BCQ. Значит, CB содержит биссектрису.Ответ: треугольник CPQ построен.
Кратко 1) Найдём центр O окружности и проведём OB.
2) Через A проведём прямую, параллельную OB; её второе пересечение с окружностью обозначим C.
3) Проведём CM. Пусть N = CM ∩ OB.
4) Через N проведём перпендикуляр к OB. Его пересечения с окружностью обозначим P и Q.
5) Соединим C, P и Q.Ответ: искомый треугольник — CPQ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямая АС — касательная к окружности с центром О1, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 270). Докажите, что:
а) AD || ВС;
б) АВ2 = AD x ВС;
в) BD2 : АС2 = AD : ВС.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.
