Упр.903 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство расстояний до концов хордС пояснением
Пусть AB и CD — равные хорды, P — точка пересечения содержащих их прямых, O — центр окружности. Обозначим через M и N середины хорд AB и CD.1) Так как AB = CD, то равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому OM = ON.
2) Отрезки OM и ON перпендикулярны хордам. Прямоугольные треугольники OMP и ONP равны по гипотенузе OP и катету OM = ON. Следовательно, PM = PN.
3) Кроме того, AM = MB = CN = ND, так как M и N — середины равных хорд.
4) Значит, расстояния от P до концов каждой хорды получаются прибавлением или вычитанием равных отрезков PM = PN и половин равных хорд. Поэтому при соответствующем обозначении концов PA = PC и PB = PD.Ответ: расстояния от точки P до соответствующих концов равных хорд равны: PA = PC, PB = PD.
Кратко Пусть M и N — середины равных хорд AB и CD, а O — центр окружности. Равные хорды равноудалены от центра, поэтому OM = ON. Прямоугольные треугольники OMP и ONP равны по гипотенузе OP и катету, значит, PM = PN. Также AM = CN и BM = DN. Следовательно, при соответствующем обозначении концов PA = PC и PB = PD.Ответ: PA = PC, PB = PD.
2) Отрезки OM и ON перпендикулярны хордам. Прямоугольные треугольники OMP и ONP равны по гипотенузе OP и катету OM = ON. Следовательно, PM = PN.
3) Кроме того, AM = MB = CN = ND, так как M и N — середины равных хорд.
4) Значит, расстояния от P до концов каждой хорды получаются прибавлением или вычитанием равных отрезков PM = PN и половин равных хорд. Поэтому при соответствующем обозначении концов PA = PC и PB = PD.Ответ: расстояния от точки P до соответствующих концов равных хорд равны: PA = PC, PB = PD.
Кратко Пусть M и N — середины равных хорд AB и CD, а O — центр окружности. Равные хорды равноудалены от центра, поэтому OM = ON. Прямоугольные треугольники OMP и ONP равны по гипотенузе OP и катету, значит, PM = PN. Также AM = CN и BM = DN. Следовательно, при соответствующем обозначении концов PA = PC и PB = PD.Ответ: PA = PC, PB = PD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойства умножения вектора на числоС пояснением
Пусть a = (x; y), b = (u; v). Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.1) (kl)a = (klx; kly),
k(la) = k(lx; ly) = (klx; kly).
Значит, (kl)a = k(la).2) (k + l)a = ((k + l)x; (k + l)y) = (kx + lx; ky + ly),
ka + la = (kx; ky) + (lx; ly) = (kx + lx; ky + ly).
Значит, (k + l)a = ka + la.3) k(a + b) = k(x + u; y + v) = (kx + ku; ky + kv),
ka + kb = (kx; ky) + (ku; kv) = (kx + ku; ky + kv).
Значит, k(a + b) = ka + kb.Ответ: все три свойства доказаны.
Кратко Пусть a = (x; y), b = (u; v). Тогда:
1) (kl)a = (klx; kly) = k(lx; ly) = k(la);
2) (k + l)a = (kx + lx; ky + ly) = ka + la;
3) k(a + b) = (k(x + u); k(y + v)) = (kx + ku; ky + kv) = ka + kb.Ответ: свойства доказаны.
k(la) = k(lx; ly) = (klx; kly).
Значит, (kl)a = k(la).2) (k + l)a = ((k + l)x; (k + l)y) = (kx + lx; ky + ly),
ka + la = (kx; ky) + (lx; ly) = (kx + lx; ky + ly).
Значит, (k + l)a = ka + la.3) k(a + b) = k(x + u; y + v) = (kx + ku; ky + kv),
ka + kb = (kx; ky) + (ku; kv) = (kx + ku; ky + kv).
Значит, k(a + b) = ka + kb.Ответ: все три свойства доказаны.
Кратко Пусть a = (x; y), b = (u; v). Тогда:
1) (kl)a = (klx; kly) = k(lx; ly) = k(la);
2) (k + l)a = (kx + lx; ky + ly) = ka + la;
3) k(a + b) = (k(x + u); k(y + v)) = (kx + ku; ky + kv) = ka + kb.Ответ: свойства доказаны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Задание учебника 2023 года
Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).
