Упр.898 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать пересечение чевиан в точке ЖергоннаС пояснением
Пусть вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB треугольника ABC в точках D, E и F соответственно.1) Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому:
BD = BF, CD = CE, AE = AF.2) Рассмотрим произведение отношений:
BD/DC · CE/EA · AF/FB.
Подставив равные отрезки, получим:
BF/CE · CE/AF · AF/BF = 1.3) По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна.Ответ: отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке — точке Жергонна.
Кратко Пусть D, E и F — точки касания окружности со сторонами BC, CA и AB. Тогда
BD = BF, CD = CE, AE = AF.
Следовательно,
BD/DC · CE/EA · AF/FB = BF/CE · CE/AF · AF/BF = 1.
По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общей точкой этих отрезков является точка Жергонна.
BD = BF, CD = CE, AE = AF.2) Рассмотрим произведение отношений:
BD/DC · CE/EA · AF/FB.
Подставив равные отрезки, получим:
BF/CE · CE/AF · AF/BF = 1.3) По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна.Ответ: отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке — точке Жергонна.
Кратко Пусть D, E и F — точки касания окружности со сторонами BC, CA и AB. Тогда
BD = BF, CD = CE, AE = AF.
Следовательно,
BD/DC · CE/EA · AF/FB = BF/CE · CE/AF · AF/BF = 1.
По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общей точкой этих отрезков является точка Жергонна.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить прямую с заданными хордой и расстояниемС пояснением
1) Построим в данной окружности хорду AB, равную P₁Q₁. Для этого возьмём на окружности точку A и проведём окружность с центром A и радиусом P₁Q₁. Точка её пересечения с данной окружностью — B.2) Построим середину H хорды AB и проведём OH. Тогда OH ⟂ AB. Расстояние от центра окружности до любой хорды, равной AB, также равно OH, так как равные хорды равноудалены от центра.3) Проведём вспомогательную окружность с центром O и радиусом OH, а также окружность с центром M и радиусом P₂Q₂.4) Построим все общие касательные к этим двум вспомогательным окружностям. Каждая такая касательная является искомой прямой p.Действительно, расстояние от O до p равно OH, поэтому данная окружность отсекает на p хорду, равную AB, то есть P₁Q₁. Расстояние от M до p равно P₂Q₂.Если общих касательных нет, задача не имеет решения. Если P₁Q₁ больше диаметра данной окружности, такую хорду построить невозможно.Ответ: искомые прямые p — все общие касательные к окружностям (O; OH) и (M; P₂Q₂).
Кратко 1) Построить в данной окружности хорду AB = P₁Q₁.
2) Найти её середину H и провести OH.
3) Построить окружности с центрами O и M и радиусами соответственно OH и P₂Q₂.
4) Провести их общие касательные.Ответ: все построенные общие касательные являются искомыми прямыми p.
Кратко 1) Построить в данной окружности хорду AB = P₁Q₁.
2) Найти её середину H и провести OH.
3) Построить окружности с центрами O и M и радиусами соответственно OH и P₂Q₂.
4) Провести их общие касательные.Ответ: все построенные общие касательные являются искомыми прямыми p.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).
Задание учебника 2023 года
Даны окружность с центром О, точка М и отрезки P1Q1 и P2Q2- Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P1Q1, и расстояние от точки М до прямой р равнялось P2Q2
