Упр.900 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что АА₁ ∥ ВВ₁С пояснением
1) Проведём общую касательную l к окружностям в точке М. Такая касательная существует, поскольку окружности касаются в точке М.
2) По теореме об угле между касательной и хордой угол между прямыми АА₁ и АМ равен углу между l и МА₁.
3) Аналогично угол между прямыми ВВ₁ и ВМ равен углу между l и МВ₁.
4) Прямые АМ и ВМ совпадают, а прямые МА₁ и МВ₁ также совпадают. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ образуют равные соответствующие углы с прямой АВ, поэтому они параллельны.
Ответ: АА₁ ∥ ВВ₁.
Кратко Проведём общую касательную l к окружностям в точке М. По теореме об угле между касательной и хордой прямые АА₁ и ВВ₁ образуют равные углы с прямой АВ, так как А, М, В лежат на одной прямой, а А₁, М, В₁ — на другой. Значит, АА₁ ∥ ВВ₁.
Ответ: АА₁ ∥ ВВ₁.
2) По теореме об угле между касательной и хордой угол между прямыми АА₁ и АМ равен углу между l и МА₁.
3) Аналогично угол между прямыми ВВ₁ и ВМ равен углу между l и МВ₁.
4) Прямые АМ и ВМ совпадают, а прямые МА₁ и МВ₁ также совпадают. Следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ образуют равные соответствующие углы с прямой АВ, поэтому они параллельны.
Ответ: АА₁ ∥ ВВ₁.
Кратко Проведём общую касательную l к окружностям в точке М. По теореме об угле между касательной и хордой прямые АА₁ и ВВ₁ образуют равные углы с прямой АВ, так как А, М, В лежат на одной прямой, а А₁, М, В₁ — на другой. Значит, АА₁ ∥ ВВ₁.
Ответ: АА₁ ∥ ВВ₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Построить треугольник по стороне, углу и высоте
Построить треугольник по стороне, углу и высотеС пояснением
Пусть даны сторона AB, противолежащий ей угол α и высота h.1) Построим две прямые, параллельные AB и удалённые от неё на расстояние h. На них должна лежать вершина C.
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB.
3) Через точку A проведём прямые, образующие с AB угол α, а затем восстановим к ним перпендикуляры в точке A.
4) Точки пересечения этих перпендикуляров с серединным перпендикуляром к AB обозначим O₁ и O₂.
5) Проведём окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами O₁A и O₂A. Они проходят через A и B. Их дуги являются геометрическим местом точек, из которых отрезок AB виден под углом α.
6) Точки пересечения нужных дуг с построенными параллельными прямыми обозначим C. Соединим C с A и B.Полученный треугольник ABC имеет данную сторону AB, угол ACB = α, а расстояние от C до AB равно h, то есть высота к стороне AB равна h. Если пересечений нет, построение невозможно; при нескольких пересечениях получаются все возможные решения.Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Провести на расстоянии h от AB прямые, параллельные AB.
2) Построить окружности, на дугах которых отрезок AB виден под углом α.
3) Их пересечения с параллельными прямыми обозначить C и соединить C с A и B.Ответ: ABC — искомый треугольник.
2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB.
3) Через точку A проведём прямые, образующие с AB угол α, а затем восстановим к ним перпендикуляры в точке A.
4) Точки пересечения этих перпендикуляров с серединным перпендикуляром к AB обозначим O₁ и O₂.
5) Проведём окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами O₁A и O₂A. Они проходят через A и B. Их дуги являются геометрическим местом точек, из которых отрезок AB виден под углом α.
6) Точки пересечения нужных дуг с построенными параллельными прямыми обозначим C. Соединим C с A и B.Полученный треугольник ABC имеет данную сторону AB, угол ACB = α, а расстояние от C до AB равно h, то есть высота к стороне AB равна h. Если пересечений нет, построение невозможно; при нескольких пересечениях получаются все возможные решения.Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Провести на расстоянии h от AB прямые, параллельные AB.
2) Построить окружности, на дугах которых отрезок AB виден под углом α.
3) Их пересечения с параллельными прямыми обозначить C и соединить C с A и B.Ответ: ABC — искомый треугольник.
Разбор 2 Построить треугольник по углу, высоте и периметру
Построить треугольник по углу, высоте и периметруС пояснением
Пусть даны угол ∠A, высота h и периметр p.1) Построим отрезок MN=p и прямую, параллельную MN и удалённую от него на h.2) Построим угол ω=90°+∠A/2. На указанной параллельной найдём точку K, из которой отрезок MN виден под углом ω, то есть ∠MKN=ω. Для этого можно построить дугу окружности, вмещающую угол ω и опирающуюся на MN. Обозначим ∠KMN=u, ∠KNM=v. Тогда
u+v=180°−ω=90°−∠A/2.3) Построим угол α=2u. Через произвольную точку луча AB проведём прямую, образующую с направлением к A угол α внутри данного угла.4) Проведём прямую, параллельную построенной и касающуюся окружности с центром A и радиусом h. Точки её пересечения со сторонами данного угла обозначим B и C. Получен треугольник ABC, причём его высота из A равна h.Проверка. Пусть AH⊥BC. Тогда ∠ABC=α=2u, а ∠ACB=2v. Из прямоугольных треугольников ABH и ACH следует:
AB+BH=h·cot u,
AC+CH=h·cot v.
Поэтому
PABC=AB+AC+BC=h(cot u+cot v).
Вспомогательный треугольник KMN имеет высоту h и основание MN=p, следовательно,
p=h(cot u+cot v).
Значит, периметр построенного треугольника равен p.Ответ: построен треугольник ABC с данным углом, высотой h и периметром p.
Кратко 1) Постройте MN=p и на расстоянии h от него — параллельную прямую.
2) На этой прямой найдите точку K, для которой ∠MKN=90°+∠A/2. Пусть ∠KMN=u.
3) Постройте направление, образующее со стороной данного угла угол 2u.
4) Параллельно этому направлению проведите касательную к окружности с центром A и радиусом h. Её пересечения со сторонами угла обозначьте B и C.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
u+v=180°−ω=90°−∠A/2.3) Построим угол α=2u. Через произвольную точку луча AB проведём прямую, образующую с направлением к A угол α внутри данного угла.4) Проведём прямую, параллельную построенной и касающуюся окружности с центром A и радиусом h. Точки её пересечения со сторонами данного угла обозначим B и C. Получен треугольник ABC, причём его высота из A равна h.Проверка. Пусть AH⊥BC. Тогда ∠ABC=α=2u, а ∠ACB=2v. Из прямоугольных треугольников ABH и ACH следует:
AB+BH=h·cot u,
AC+CH=h·cot v.
Поэтому
PABC=AB+AC+BC=h(cot u+cot v).
Вспомогательный треугольник KMN имеет высоту h и основание MN=p, следовательно,
p=h(cot u+cot v).
Значит, периметр построенного треугольника равен p.Ответ: построен треугольник ABC с данным углом, высотой h и периметром p.
Кратко 1) Постройте MN=p и на расстоянии h от него — параллельную прямую.
2) На этой прямой найдите точку K, для которой ∠MKN=90°+∠A/2. Пусть ∠KMN=u.
3) Постройте направление, образующее со стороной данного угла угол 2u.
4) Параллельно этому направлению проведите касательную к окружности с центром A и радиусом h. Её пересечения со сторонами угла обозначьте B и C.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках ВиB1. Докажите, что АА1|| ВВ1.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне; б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру.
