Упр.528 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать деление диагонали BD на три частиС пояснением
Обозначим P = AN ∩ BD, Q = MC ∩ BD.1) Рассмотрим треугольники PBN и PDA. Они подобны по двум углам: вертикальные углы при P равны, а углы при B и D равны, так как BN ∥ AD.Так как N — середина BC и BC = AD, то BN = 1/2 AD. Следовательно,
BP : PD = BN : AD = 1 : 2.
Значит, BP = 1/3 BD.2) Треугольники QBC и QDM также подобны по двум углам, так как BC ∥ DM.Поскольку M — середина AD и AD = BC, имеем DM = 1/2 BC. Поэтому
BQ : QD = BC : DM = 2 : 1.
Значит, QD = 1/3 BD, а BQ = 2/3 BD.3) Тогда
PQ = BQ − BP = 2/3 BD − 1/3 BD = 1/3 BD.Следовательно, BP = PQ = QD.Ответ: прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.
Кратко Пусть P = AN ∩ BD, Q = MC ∩ BD.Из подобия треугольников PBN и PDA:
BP : PD = BN : AD = 1 : 2,
поэтому BP = 1/3 BD.Из подобия треугольников QBC и QDM:
BQ : QD = BC : DM = 2 : 1,
поэтому QD = 1/3 BD и BQ = 2/3 BD.Тогда PQ = BQ − BP = 1/3 BD. Следовательно,
BP = PQ = QD.Ответ: диагональ BD разделена прямыми AN и MC на три равные части.
BP : PD = BN : AD = 1 : 2.
Значит, BP = 1/3 BD.2) Треугольники QBC и QDM также подобны по двум углам, так как BC ∥ DM.Поскольку M — середина AD и AD = BC, имеем DM = 1/2 BC. Поэтому
BQ : QD = BC : DM = 2 : 1.
Значит, QD = 1/3 BD, а BQ = 2/3 BD.3) Тогда
PQ = BQ − BP = 2/3 BD − 1/3 BD = 1/3 BD.Следовательно, BP = PQ = QD.Ответ: прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части.
Кратко Пусть P = AN ∩ BD, Q = MC ∩ BD.Из подобия треугольников PBN и PDA:
BP : PD = BN : AD = 1 : 2,
поэтому BP = 1/3 BD.Из подобия треугольников QBC и QDM:
BQ : QD = BC : DM = 2 : 1,
поэтому QD = 1/3 BD и BQ = 2/3 BD.Тогда PQ = BQ − BP = 1/3 BD. Следовательно,
BP = PQ = QD.Ответ: диагональ BD разделена прямыми AN и MC на три равные части.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь треугольника AOBС пояснением
1) Так как AD ∥ BC, треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты, поэтому их площади равны.
2) Вычтем из площадей этих треугольников общую площадь треугольника AOD. Значит, площади треугольников AOB и COD равны.
3) 12 · 5 : 2 = 30 (см²) — площадь треугольника COD, а значит, и треугольника AOB.
Ответ: 30 см².
Кратко S△AOB = S△COD.
12 · 5 : 2 = 30 (см²).
Ответ: 30 см².
2) Вычтем из площадей этих треугольников общую площадь треугольника AOD. Значит, площади треугольников AOB и COD равны.
3) 12 · 5 : 2 = 30 (см²) — площадь треугольника COD, а значит, и треугольника AOB.
Ответ: 30 см².
Кратко S△AOB = S△COD.
12 · 5 : 2 = 30 (см²).
Ответ: 30 см².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.
Задание учебника 2023 года
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.
