Упр.532 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти длину MNС пояснением
1) Диагональ AC делит прямой угол квадрата пополам, поэтому ∠BAC = ∠CAD = 45°. Так как MN ⟂ AC, то ∠BAM = ∠DAN = 45°.
2) Прямоугольные треугольники ABM и ADN равнобедренные. Значит, BM = AB и DN = AD.
3) Так как AB = AD = BC = CD, треугольники ABM и ADC равны по двум катетам. Поэтому AM = AC = 18,4 см. Аналогично AN = AC = 18,4 см.
4) Точка A лежит между M и N, следовательно:
MN = AM + AN = 18,4 + 18,4 = 36,8 (см).
Ответ: 36,8 см.
Кратко Так как MN ⟂ AC, получаются равные прямоугольные треугольники, поэтому AM = AN = AC.
MN = AM + AN = 2 · 18,4 = 36,8 (см).
Ответ: 36,8 см.
2) Прямоугольные треугольники ABM и ADN равнобедренные. Значит, BM = AB и DN = AD.
3) Так как AB = AD = BC = CD, треугольники ABM и ADC равны по двум катетам. Поэтому AM = AC = 18,4 см. Аналогично AN = AC = 18,4 см.
4) Точка A лежит между M и N, следовательно:
MN = AM + AN = 18,4 + 18,4 = 36,8 (см).
Ответ: 36,8 см.
Кратко Так как MN ⟂ AC, получаются равные прямоугольные треугольники, поэтому AM = AN = AC.
MN = AM + AN = 2 · 18,4 = 36,8 (см).
Ответ: 36,8 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулы для BC² при остром и тупом угле AС пояснением
а) Если угол A острый, то точка H лежит на луче AC. Поэтому CH = AC − AH.1) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH:
BH² = AB² − AH².2) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BCH:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC − AH)².3) Раскроем скобки:
BC² = AB² − AH² + AC² − 2AC · AH + AH² = AB² + AC² − 2AC · AH.б) Если угол A тупой, то точка H лежит на продолжении стороны AC за точку A. Поэтому CH = AC + AH.1) По теореме Пифагора:
BH² = AB² − AH².2) Тогда:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC + AH)².3) Раскроем скобки:
BC² = AB² − AH² + AC² + 2AC · AH + AH² = AB² + AC² + 2AC · AH.Ответ: а) BC² = AB² + AC² − 2AC · AH; б) BC² = AB² + AC² + 2AC · AH, что и требовалось доказать.
Кратко а) При остром угле A имеем CH = AC − AH. По теореме Пифагора:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC − AH)² = AB² + AC² − 2AC · AH.б) При тупом угле A имеем CH = AC + AH. Поэтому:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC + AH)² = AB² + AC² + 2AC · AH.Ответ: а) BC² = AB² + AC² − 2AC · AH; б) BC² = AB² + AC² + 2AC · AH.
BH² = AB² − AH².2) По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BCH:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC − AH)².3) Раскроем скобки:
BC² = AB² − AH² + AC² − 2AC · AH + AH² = AB² + AC² − 2AC · AH.б) Если угол A тупой, то точка H лежит на продолжении стороны AC за точку A. Поэтому CH = AC + AH.1) По теореме Пифагора:
BH² = AB² − AH².2) Тогда:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC + AH)².3) Раскроем скобки:
BC² = AB² − AH² + AC² + 2AC · AH + AH² = AB² + AC² + 2AC · AH.Ответ: а) BC² = AB² + AC² − 2AC · AH; б) BC² = AB² + AC² + 2AC · AH, что и требовалось доказать.
Кратко а) При остром угле A имеем CH = AC − AH. По теореме Пифагора:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC − AH)² = AB² + AC² − 2AC · AH.б) При тупом угле A имеем CH = AC + AH. Поэтому:
BC² = BH² + CH² = AB² − AH² + (AC + AH)² = AB² + AC² + 2AC · AH.Ответ: а) BC² = AB² + AC² − 2AC · AH; б) BC² = AB² + AC² + 2AC · AH.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если:
а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 - 2АС x АН;
б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС x АН.
