Упр.1033 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равнобедренность и найти площади треугольниковС пояснением
а) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (1 − 0)² + (−4 − 1)² = 26;
AC² = (5 − 0)² + (2 − 1)² = 26.
Следовательно, AB = AC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.Найдём площадь по координатам векторов AB = (1; −5) и AC = (5; 1):
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (−2 + 4)² + (4 − 1)² = 13;
BC² = (0 + 2)² + (1 − 4)² = 13.
Следовательно, AB = BC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.AC = 4, а высота, проведённая из B к горизонтальному основанию AC, равна 4 − 1 = 3.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Кратко а) AB² = 1² + (−5)² = 26, AC² = 5² + 1² = 26, значит, AB = AC.
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) AB² = 2² + 3² = 13, BC² = 2² + (−3)² = 13, значит, AB = BC.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
AB² = (1 − 0)² + (−4 − 1)² = 26;
AC² = (5 − 0)² + (2 − 1)² = 26.
Следовательно, AB = AC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.Найдём площадь по координатам векторов AB = (1; −5) и AC = (5; 1):
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) Сравним квадраты длин сторон:
AB² = (−2 + 4)² + (4 − 1)² = 13;
BC² = (0 + 2)² + (1 − 4)² = 13.
Следовательно, AB = BC, поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.AC = 4, а высота, проведённая из B к горизонтальному основанию AC, равна 4 − 1 = 3.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Кратко а) AB² = 1² + (−5)² = 26, AC² = 5² + 1² = 26, значит, AB = AC.
S = 1/2 · |1 · 1 − 5 · (−5)| = 13 (кв. ед.).б) AB² = 2² + 3² = 13, BC² = 2² + (−3)² = 13, значит, AB = BC.
S = 1/2 · 4 · 3 = 6 (кв. ед.).Ответ: а) AB = AC, S = 13 кв. ед.; б) AB = BC, S = 6 кв. ед.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать отношение стороны к синусу противолежащего углаС пояснением
Пусть в треугольнике ABC сторона BC = a, а ∠A — противолежащий ей угол. О — центр описанной окружности.1) Проведём диаметр BD описанной окружности. Тогда BD = 2R.2) Угол BCD прямой, так как он опирается на диаметр BD. Поэтому в прямоугольном треугольнике BCD:
sin ∠BDC = BC/BD = a/(2R).3) Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну хорду BC, поэтому они равны или дополняют друг друга до 180°. Следовательно, их синусы равны:
sin ∠BDC = sin A.Значит,
sin A = a/(2R),
откуда
a/sin A = 2R.Ответ: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Кратко Пусть BC = a, ∠A — противолежащий угол. Проведём диаметр BD описанной окружности.Так как ∠BCD = 90°, то
sin ∠BDC = BC/BD = a/(2R).
Углы BDC и A опираются на хорду BC, поэтому их синусы равны. Следовательно,
a/sin A = 2R.Ответ: a/sin A = 2R — диаметр описанной окружности.
sin ∠BDC = BC/BD = a/(2R).3) Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну хорду BC, поэтому они равны или дополняют друг друга до 180°. Следовательно, их синусы равны:
sin ∠BDC = sin A.Значит,
sin A = a/(2R),
откуда
a/sin A = 2R.Ответ: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Кратко Пусть BC = a, ∠A — противолежащий угол. Проведём диаметр BD описанной окружности.Так как ∠BCD = 90°, то
sin ∠BDC = BC/BD = a/(2R).
Углы BDC и A опираются на хорду BC, поэтому их синусы равны. Следовательно,
a/sin A = 2R.Ответ: a/sin A = 2R — диаметр описанной окружности.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1).
Задание учебника 2023 года
Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
