Упр.1039 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство сумм квадратов сторон и диагоналейС пояснением
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α.1) По теореме косинусов для треугольника ABD:
BD² = a² + b² − 2ab cos α.2) Так как соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, то ∠ABC = 180° − α. По теореме косинусов для треугольника ABC:
AC² = a² + b² − 2ab cos(180° − α) = a² + b² + 2ab cos α.3) Сложим полученные равенства:
AC² + BD² = 2a² + 2b².При этом сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна:
AB² + BC² + CD² + DA² = a² + b² + a² + b² = 2a² + 2b².Следовательно,
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².Ответ: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Кратко Пусть AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α. По теореме косинусов:
BD² = a² + b² − 2ab cos α,
AC² = a² + b² + 2ab cos α.Тогда AC² + BD² = 2a² + 2b². Но
AB² + BC² + CD² + DA² = 2a² + 2b².Ответ: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
BD² = a² + b² − 2ab cos α.2) Так как соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°, то ∠ABC = 180° − α. По теореме косинусов для треугольника ABC:
AC² = a² + b² − 2ab cos(180° − α) = a² + b² + 2ab cos α.3) Сложим полученные равенства:
AC² + BD² = 2a² + 2b².При этом сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна:
AB² + BC² + CD² + DA² = a² + b² + a² + b² = 2a² + 2b².Следовательно,
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².Ответ: сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Кратко Пусть AB = CD = a, AD = BC = b, ∠BAD = α. По теореме косинусов:
BD² = a² + b² − 2ab cos α,
AC² = a² + b² + 2ab cos α.Тогда AC² + BD² = 2a² + 2b². Но
AB² + BC² + CD² + DA² = 2a² + 2b².Ответ: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD².
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти угол между векторами AB и AC
Найти угол между векторами AB и ACС пояснением
1) Угол между векторами AB и AC — это угол BAC, так как векторы имеют общее начало A.
2) Диагональ AC делит прямой угол квадрата A пополам.
3) ∠BAC = 90° : 2 = 45°.
Ответ: 45°.
Кратко ∠(AB, AC) = ∠BAC = 90° : 2 = 45°.
Ответ: 45°.
2) Диагональ AC делит прямой угол квадрата A пополам.
3) ∠BAC = 90° : 2 = 45°.
Ответ: 45°.
Кратко ∠(AB, AC) = ∠BAC = 90° : 2 = 45°.
Ответ: 45°.
Разбор 2 Найдите угол между векторами AB и DA
Найдите угол между векторами AB и DAС пояснением
1) Стороны AB и AD квадрата перпендикулярны, поэтому AB ⟂ AD.
2) Векторы DA и AD противоположно направлены, но вектор DA также перпендикулярен вектору AB.
Следовательно, угол между векторами AB и DA равен 90°.
Ответ: 90°.
Кратко AB ⟂ DA, поэтому угол между векторами AB и DA равен 90°.
Ответ: 90°.
2) Векторы DA и AD противоположно направлены, но вектор DA также перпендикулярен вектору AB.
Следовательно, угол между векторами AB и DA равен 90°.
Ответ: 90°.
Кратко AB ⟂ DA, поэтому угол между векторами AB и DA равен 90°.
Ответ: 90°.
Разбор 3 Найти угол между векторами OA и OB
Найти угол между векторами OA и OBС пояснением
1) Векторы OA и OB направлены вдоль диагоналей AC и BD квадрата.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол AOB равен 90°.Ответ: 90°.
Кратко Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому ∠AOB = 90°.Ответ: 90°.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол AOB равен 90°.Ответ: 90°.
Кратко Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому ∠AOB = 90°.Ответ: 90°.
Разбор 4 Найти угол между векторами AO и OB
Найти угол между векторами AO и OBС пояснением
1) Вектор AO лежит на диагонали AC, а вектор OB — на диагонали BD.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между векторами AO и OB равен 90°.Ответ: 90°.
Кратко AC ⟂ BD, поэтому ∠AOB = 90°.Ответ: 90°.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между векторами AO и OB равен 90°.Ответ: 90°.
Кратко AC ⟂ BD, поэтому ∠AOB = 90°.Ответ: 90°.
Разбор 5 Найти угол между векторами OA и OC
Найти угол между векторами OA и OCС пояснением
1) Точки A, O и C лежат на одной диагонали квадрата.
2) Векторы OA и OC направлены в противоположные стороны, поэтому угол между ними равен 180°.
Ответ: 180°.
Кратко Векторы OA и OC противоположно направлены.
Ответ: 180°.
2) Векторы OA и OC направлены в противоположные стороны, поэтому угол между ними равен 180°.
Ответ: 180°.
Кратко Векторы OA и OC противоположно направлены.
Ответ: 180°.
Разбор 6 Найти угол между векторами AC и BD
Найти угол между векторами AC и BDС пояснением
1) AC и BD — диагонали квадрата ABCD.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между векторами AC и BD равен 90°.
Ответ: 90°.
Кратко AC ⟂ BD, поэтому ∠(AC, BD) = 90°.
Ответ: 90°.
2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между векторами AC и BD равен 90°.
Ответ: 90°.
Кратко AC ⟂ BD, поэтому ∠(AC, BD) = 90°.
Ответ: 90°.
Разбор 7 Найти угол между векторами AD и DB
Найти угол между векторами AD и DBС пояснением
1) Диагональ DB делит прямой угол ADC квадрата пополам, поэтому ∠ADB = 45°.
2) Векторы AD и DA противоположно направлены, значит угол между векторами AD и DB равен 180° − 45° = 135°.
Ответ: 135°.
Кратко Вектор AD противоположен вектору DA, а ∠ADB = 45°.
180° − 45° = 135°.
Ответ: 135°.
2) Векторы AD и DA противоположно направлены, значит угол между векторами AD и DB равен 180° − 45° = 135°.
Ответ: 135°.
Кратко Вектор AD противоположен вектору DA, а ∠ADB = 45°.
180° − 45° = 135°.
Ответ: 135°.
Разбор 8 Найдите угол между векторами AO и OC
Найдите угол между векторами AO и OCС пояснением
1) Точка O лежит на диагонали AC между точками A и C.
2) Векторы AO и OC лежат на одной прямой и направлены в одну сторону — от A к C.
3) Угол между сонаправленными векторами равен 0°.
Ответ: 0°.
Кратко Векторы AO и OC сонаправлены, поэтому угол между ними равен 0°.
Ответ: 0°.
2) Векторы AO и OC лежат на одной прямой и направлены в одну сторону — от A к C.
3) Угол между сонаправленными векторами равен 0°.
Ответ: 0°.
Кратко Векторы AO и OC сонаправлены, поэтому угол между ними равен 0°.
Ответ: 0°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Задание учебника 2023 года
Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
