Упр.990 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать постоянство угла и вписанность четырёхугольникаС пояснением
Будем рассматривать углы между прямыми по модулю 180° — это позволяет не разбирать отдельно разные положения точек C и D.1) По теореме об угле между касательной и хордой:
∠(KC, CA) = ∠CBA,
∠(AD, DK) = ∠ABD.Так как точки C, A и D лежат на одной прямой, получаем:
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.2) Покажем, что ∠CBD постоянен. Угол ∠BCA — вписанный угол первой окружности, опирающийся на её неподвижную хорду AB. Поэтому он не зависит от положения прямой m. Аналогично ∠BDA — вписанный угол второй окружности, опирающийся на неподвижную хорду AB, и также постоянен.В треугольнике BCD углы при C и D постоянны, так как прямая CD совпадает с прямой CA и с прямой DA. Следовательно,
∠CBD = 180° − ∠BCD − ∠BDC
тоже постоянен. Значит, не зависит от выбора m и равный ему угол ∠CKD.3) Равенство ∠CKD = ∠CBD означает, что точки B и K видят отрезок CD под равными углами. По обратной теореме о вписанных углах точки B, C, K и D лежат на одной окружности.Ответ: а) угол CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой и с учётом того, что C, A, D лежат на одной прямой,
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.Углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же неподвижную хорду AB в своих окружностях, поэтому они постоянны. Значит, в треугольнике BCD постоянен и угол ∠CBD, а следовательно, постоянен ∠CKD.Так как ∠CKD = ∠CBD, точки B и K видят отрезок CD под равными углами. Поэтому B, C, K, D лежат на одной окружности.Ответ: а) ∠CKD не зависит от выбора m; б) BCKD — вписанный четырёхугольник.
∠(KC, CA) = ∠CBA,
∠(AD, DK) = ∠ABD.Так как точки C, A и D лежат на одной прямой, получаем:
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.2) Покажем, что ∠CBD постоянен. Угол ∠BCA — вписанный угол первой окружности, опирающийся на её неподвижную хорду AB. Поэтому он не зависит от положения прямой m. Аналогично ∠BDA — вписанный угол второй окружности, опирающийся на неподвижную хорду AB, и также постоянен.В треугольнике BCD углы при C и D постоянны, так как прямая CD совпадает с прямой CA и с прямой DA. Следовательно,
∠CBD = 180° − ∠BCD − ∠BDC
тоже постоянен. Значит, не зависит от выбора m и равный ему угол ∠CKD.3) Равенство ∠CKD = ∠CBD означает, что точки B и K видят отрезок CD под равными углами. По обратной теореме о вписанных углах точки B, C, K и D лежат на одной окружности.Ответ: а) угол CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.
Кратко По теореме об угле между касательной и хордой и с учётом того, что C, A, D лежат на одной прямой,
∠CKD = ∠CBA + ∠ABD = ∠CBD.Углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же неподвижную хорду AB в своих окружностях, поэтому они постоянны. Значит, в треугольнике BCD постоянен и угол ∠CBD, а следовательно, постоянен ∠CKD.Так как ∠CKD = ∠CBD, точки B и K видят отрезок CD под равными углами. Поэтому B, C, K, D лежат на одной окружности.Ответ: а) ∠CKD не зависит от выбора m; б) BCKD — вписанный четырёхугольник.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти координаты и длины векторовС пояснением
а) Координаты векторов складываем и вычитаем по соответствующим координатам:
1) p = a + b = {3 + 6; 4 + (−8)} = {9; −4}.
2) q = b + c = {6 + 1; −8 + 5} = {7; −3}.
3) r = 2a − b + c = {2 · 3 − 6 + 1; 2 · 4 − (−8) + 5} = {1; 21}.
4) s = a − b − c = {3 − 6 − 1; 4 − (−8) − 5} = {−4; 7}.б) Длину вектора {x; y} находим по формуле |v| = √(x² + y²):
1) |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
2) |b| = √(6² + (−8)²) = √100 = 10.
3) |r| = √(1² + 21²) = √442.
4) |q| = √(7² + (−3)²) = √58.Ответ: p = {9; −4}, q = {7; −3}, r = {1; 21}, s = {−4; 7}; |a| = 5, |b| = 10, |r| = √442, |q| = √58.
Кратко а) p = {9; −4}; q = {7; −3}; r = {1; 21}; s = {−4; 7}.
б) |a| = 5; |b| = 10; |r| = √442; |q| = √58.Ответ: {9; −4}, {7; −3}, {1; 21}, {−4; 7}; 5, 10, √442, √58.
1) p = a + b = {3 + 6; 4 + (−8)} = {9; −4}.
2) q = b + c = {6 + 1; −8 + 5} = {7; −3}.
3) r = 2a − b + c = {2 · 3 − 6 + 1; 2 · 4 − (−8) + 5} = {1; 21}.
4) s = a − b − c = {3 − 6 − 1; 4 − (−8) − 5} = {−4; 7}.б) Длину вектора {x; y} находим по формуле |v| = √(x² + y²):
1) |a| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
2) |b| = √(6² + (−8)²) = √100 = 10.
3) |r| = √(1² + 21²) = √442.
4) |q| = √(7² + (−3)²) = √58.Ответ: p = {9; −4}, q = {7; −3}, r = {1; 21}, s = {−4; 7}; |a| = 5, |b| = 10, |r| = √442, |q| = √58.
Кратко а) p = {9; −4}; q = {7; −3}; r = {1; 21}; s = {−4; 7}.
б) |a| = 5; |b| = 10; |r| = √442; |q| = √58.Ответ: {9; −4}, {7; −3}, {1; 21}, {−4; 7}; 5, 10, √442, √58.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b= ВС.
Задание учебника 2023 года
Даны векторы а {3; 4}, b {6; -8}, с {1;5}. а) Найдите координаты векторов p = a + b,q = b + c, r=2a - b +с, s = а - b - с. б) Найдите |а|, | b |, |р|, |q|.
