Упр.996 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство сумм векторовС пояснением
Пусть K, L, M, N — последовательные вершины исходного четырёхугольника, а A, B, C, D — середины его сторон KL, LM, MN, NK соответственно.1) В треугольнике KLM отрезок AB — средняя линия, поэтому AB ∥ KM и AB = ½KM. В треугольнике KNM отрезок DC — средняя линия, поэтому DC ∥ KM и DC = ½KM. Следовательно, AB ∥ DC и AB = DC, значит, ABCD — параллелограмм.2) Обозначим точку пересечения его диагоналей AC и BD через P. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому P — середина и AC, и BD.3) Для любой точки O:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA})+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{OP}\),
так как \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0\).Аналогично,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).Следовательно,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Кратко Соединим середины сторон исходного четырёхугольника. По свойству средней линии полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Пусть P — точка пересечения его диагоналей. Тогда P — середина AC и BD, поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}\),
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).
Значит, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA})+(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{OP}\),
так как \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow0\).Аналогично,
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).Следовательно,
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Кратко Соединим середины сторон исходного четырёхугольника. По свойству средней линии полученный четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Пусть P — точка пересечения его диагоналей. Тогда P — середина AC и BD, поэтому
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}\),
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}\).
Значит, \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\).Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти середины сторон, медиану и средние линииС пояснением
Обозначим середины сторон AB, BC и AC соответственно точками M, K и N.1) Найдём координаты середин сторон по формуле середины отрезка:
M((−5 + 3)/2; (13 + 5)/2) = M(−1; 9),
K((3 − 3)/2; (5 − 1)/2) = K(0; 2),
N((−5 − 3)/2; (13 − 1)/2) = N(−4; 6).2) Медиана, проведённая к стороне AC, соединяет вершину B с серединой N стороны AC. Поэтому это отрезок BN, где B(3; 5), N(−4; 6).
Его длина:
BN = √((−4 − 3)² + (6 − 5)²) = √50 = 5√2.
Уравнение прямой BN: x + 7y − 38 = 0.3) Средние линии треугольника:
MK соединяет середины AB и BC, MK ∥ AC; M(−1; 9), K(0; 2), MK = 5√2;
KN соединяет середины BC и AC, KN ∥ AB; K(0; 2), N(−4; 6), KN = 4√2;
MN соединяет середины AB и AC, MN ∥ BC; M(−1; 9), N(−4; 6), MN = 3√2.Ответ: а) M(−1; 9), K(0; 2), N(−4; 6); б) медиана BN, N(−4; 6), BN = 5√2, прямая BN: x + 7y − 38 = 0; в) средние линии MK, KN, MN, их длины соответственно 5√2, 4√2 и 3√2.
Кратко а) Середины сторон:
AB: M(−1; 9);
BC: K(0; 2);
AC: N(−4; 6).б) Медиана к стороне AC — отрезок BN:
B(3; 5), N(−4; 6), BN = 5√2.
Прямая BN: x + 7y − 38 = 0.в) Средние линии:
MK ∥ AC, MK = 5√2;
KN ∥ AB, KN = 4√2;
MN ∥ BC, MN = 3√2.Ответ: M(−1; 9), K(0; 2), N(−4; 6); медиана BN = 5√2; средние линии MK, KN и MN.
M((−5 + 3)/2; (13 + 5)/2) = M(−1; 9),
K((3 − 3)/2; (5 − 1)/2) = K(0; 2),
N((−5 − 3)/2; (13 − 1)/2) = N(−4; 6).2) Медиана, проведённая к стороне AC, соединяет вершину B с серединой N стороны AC. Поэтому это отрезок BN, где B(3; 5), N(−4; 6).
Его длина:
BN = √((−4 − 3)² + (6 − 5)²) = √50 = 5√2.
Уравнение прямой BN: x + 7y − 38 = 0.3) Средние линии треугольника:
MK соединяет середины AB и BC, MK ∥ AC; M(−1; 9), K(0; 2), MK = 5√2;
KN соединяет середины BC и AC, KN ∥ AB; K(0; 2), N(−4; 6), KN = 4√2;
MN соединяет середины AB и AC, MN ∥ BC; M(−1; 9), N(−4; 6), MN = 3√2.Ответ: а) M(−1; 9), K(0; 2), N(−4; 6); б) медиана BN, N(−4; 6), BN = 5√2, прямая BN: x + 7y − 38 = 0; в) средние линии MK, KN, MN, их длины соответственно 5√2, 4√2 и 3√2.
Кратко а) Середины сторон:
AB: M(−1; 9);
BC: K(0; 2);
AC: N(−4; 6).б) Медиана к стороне AC — отрезок BN:
B(3; 5), N(−4; 6), BN = 5√2.
Прямая BN: x + 7y − 38 = 0.в) Средние линии:
MK ∥ AC, MK = 5√2;
KN ∥ AB, KN = 4√2;
MN ∥ BC, MN = 3√2.Ответ: M(−1; 9), K(0; 2), N(−4; 6); медиана BN = 5√2; средние линии MK, KN и MN.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство OA + OC=OB + OD.
Задание учебника 2023 года
Вершины треугольника ABC имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.
