Упр.985 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать ∠KAM = 90° и найти МКС пояснением
Обозначим центры окружностей через O и O₁, причём OM = r, O₁K = R.1) Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: OM ⟂ MK и O₁K ⟂ MK. Поэтому OM ∥ O₁K.Пусть ∠AOM = α, ∠AO₁K = β. Так как OA и O₁A лежат на одной прямой, а OM ∥ O₁K, то α + β = 180°.Треугольники AOM и AO₁K равнобедренные, поэтому
∠OAM = (180° − α) : 2,
∠O₁AK = (180° − β) : 2.Углы ∠OAM, ∠MAK и ∠KAO₁ вместе составляют 180°. Следовательно,
∠MAK = 180° − (180° − α) : 2 − (180° − β) : 2
= (α + β) : 2 = 90°.2) Опустим из O перпендикуляр OH на O₁K. Тогда OH = MK, OO₁ = r + R, O₁H = |R − r|. По теореме Пифагора:
MK² = (r + R)² − (R − r)² = 4rR,
MK = 2√(rR).Ответ: а) ∠KAM = 90°; б) MK = 2√(rR).
Кратко Пусть O и O₁ — центры окружностей. Так как OM ⟂ MK и O₁K ⟂ MK, то OM ∥ O₁K. Из равнобедренных треугольников AOM и AO₁K и свойства односторонних углов получаем:
∠KAM = 90°.Опустим OH ⟂ O₁K. Тогда OH = MK, OO₁ = r + R, O₁H = |R − r|. По теореме Пифагора:
MK = √((R + r)² − (R − r)²) = √(4rR) = 2√(rR).Ответ: а) 90°; б) 2√(rR).
∠OAM = (180° − α) : 2,
∠O₁AK = (180° − β) : 2.Углы ∠OAM, ∠MAK и ∠KAO₁ вместе составляют 180°. Следовательно,
∠MAK = 180° − (180° − α) : 2 − (180° − β) : 2
= (α + β) : 2 = 90°.2) Опустим из O перпендикуляр OH на O₁K. Тогда OH = MK, OO₁ = r + R, O₁H = |R − r|. По теореме Пифагора:
MK² = (r + R)² − (R − r)² = 4rR,
MK = 2√(rR).Ответ: а) ∠KAM = 90°; б) MK = 2√(rR).
Кратко Пусть O и O₁ — центры окружностей. Так как OM ⟂ MK и O₁K ⟂ MK, то OM ∥ O₁K. Из равнобедренных треугольников AOM и AO₁K и свойства односторонних углов получаем:
∠KAM = 90°.Опустим OH ⟂ O₁K. Тогда OH = MK, OO₁ = r + R, O₁H = |R − r|. По теореме Пифагора:
MK = √((R + r)² − (R − r)²) = √(4rR) = 2√(rR).Ответ: а) 90°; б) 2√(rR).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти множество точек MС пояснением
1) Введём систему координат: A(0; 0), B(a; 0), где a = AB, и M(x; y).2) Тогда
BM² = (x − a)² + y²,
AM² = x² + y².
По условию:
(x − a)² + y² − x² − y² = 2a².3) Раскроем скобки:
x² − 2ax + a² − x² = 2a²,
−2ax = a²,
x = −a/2.4) Равенство x = −a/2 задаёт прямую, перпендикулярную AB и проходящую через точку C на продолжении BA за точку A, причём AC = AB/2.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку C, где A лежит между C и B и AC = AB/2.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), M(x; y). Тогда
BM² − AM² = (x − a)² + y² − x² − y² = 2a²,
откуда x = −a/2.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку C на продолжении BA за точку A, где AC = AB/2.
BM² = (x − a)² + y²,
AM² = x² + y².
По условию:
(x − a)² + y² − x² − y² = 2a².3) Раскроем скобки:
x² − 2ax + a² − x² = 2a²,
−2ax = a²,
x = −a/2.4) Равенство x = −a/2 задаёт прямую, перпендикулярную AB и проходящую через точку C на продолжении BA за точку A, причём AC = AB/2.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку C, где A лежит между C и B и AC = AB/2.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), M(x; y). Тогда
BM² − AM² = (x − a)² + y² − x² − y² = 2a²,
откуда x = −a/2.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку C на продолжении BA за точку A, где AC = AB/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
окажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
Задание учебника 2023 года
Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ2 - AM2= 2АВ2.
