Упр.988 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать формулы длины суммы векторовС пояснением
1) Отложим от точки A вектор AB = m, а от точки B — вектор BC = n. По правилу треугольника AC = m + n.
2) Если m и n сонаправлены, то точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Поэтому AC = AB + BC, то есть |m + n| = |m| + |n|.
3) Если m и n противоположно направлены и |m| > |n|, то точка C находится между A и B. Поэтому AC = AB − BC, то есть |m + n| = |m| − |n|.
Ответ: утверждения доказаны.
Кратко Отложим AB = m и BC = n. Тогда по правилу треугольника AC = m + n.
Если векторы сонаправлены, то AC = AB + BC, поэтому |m + n| = |m| + |n|.
Если векторы противоположно направлены и |m| > |n|, то AC = AB − BC, поэтому |m + n| = |m| − |n|.
Ответ: утверждения доказаны.
2) Если m и n сонаправлены, то точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Поэтому AC = AB + BC, то есть |m + n| = |m| + |n|.
3) Если m и n противоположно направлены и |m| > |n|, то точка C находится между A и B. Поэтому AC = AB − BC, то есть |m + n| = |m| − |n|.
Ответ: утверждения доказаны.
Кратко Отложим AB = m и BC = n. Тогда по правилу треугольника AC = m + n.
Если векторы сонаправлены, то AC = AB + BC, поэтому |m + n| = |m| + |n|.
Если векторы противоположно направлены и |m| > |n|, то AC = AB − BC, поэтому |m + n| = |m| − |n|.
Ответ: утверждения доказаны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти x для коллинеарности векторов p и q
Найти x для коллинеарности векторов p и qС пояснением
1) Так как векторы a и b неколлинеарны, векторы p и q будут коллинеарны, если их соответствующие коэффициенты при a и b пропорциональны.2) Пусть q = kp. Тогда
1 = 2k,
x = −k.3) Из первого равенства k = 1/2, поэтому x = −1/2.Ответ: x = −1/2.
Кратко Для коллинеарности коэффициенты при a и b должны быть пропорциональны:
1/2 = x/(−1),
откуда x = −1/2.Ответ: x = −1/2.
1 = 2k,
x = −k.3) Из первого равенства k = 1/2, поэтому x = −1/2.Ответ: x = −1/2.
Кратко Для коллинеарности коэффициенты при a и b должны быть пропорциональны:
1/2 = x/(−1),
откуда x = −1/2.Ответ: x = −1/2.
Разбор 2 Найдите x для коллинеарности p и q
Найдите x для коллинеарности p и qС пояснением
1) Предположим, что векторы p и q коллинеарны. Тогда существует число k такое, что p = kq.2) Подставим выражения векторов:
xa − b = k(a + xb) = ka + kxb.3) Так как a и b неколлинеарны, их коэффициенты в равных векторах должны быть равны:
x = k,
−1 = kx.4) Из x = k получаем:
−1 = x².Квадрат действительного числа не может быть равен −1, поэтому такого x не существует.Ответ: такого действительного числа x не существует.
Кратко Если p и q коллинеарны, то p = kq. Сравнивая коэффициенты при неколлинеарных векторах a и b, получаем x = k и −1 = kx. Значит, x² = −1, что невозможно для действительного x.Ответ: такого числа x не существует.
xa − b = k(a + xb) = ka + kxb.3) Так как a и b неколлинеарны, их коэффициенты в равных векторах должны быть равны:
x = k,
−1 = kx.4) Из x = k получаем:
−1 = x².Квадрат действительного числа не может быть равен −1, поэтому такого x не существует.Ответ: такого действительного числа x не существует.
Кратко Если p и q коллинеарны, то p = kq. Сравнивая коэффициенты при неколлинеарных векторах a и b, получаем x = k и −1 = kx. Значит, x² = −1, что невозможно для действительного x.Ответ: такого числа x не существует.
Разбор 3 Найти x для коллинеарности p и q
Найти x для коллинеарности p и qС пояснением
1) Так как векторы a и b неколлинеарны, равенство p = kq возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов при a и b.2) a + xb = k(a − 2b) = ka − 2kb.
Отсюда 1 = k и x = −2k.3) При k = 1 получаем x = −2. Тогда p = a − 2b = q, поэтому векторы p и q коллинеарны.Ответ: x = −2.
Кратко При x = −2 получаем:
p = a − 2b = q.
Равные векторы коллинеарны.Ответ: x = −2.
Отсюда 1 = k и x = −2k.3) При k = 1 получаем x = −2. Тогда p = a − 2b = q, поэтому векторы p и q коллинеарны.Ответ: x = −2.
Кратко При x = −2 получаем:
p = a − 2b = q.
Равные векторы коллинеарны.Ответ: x = −2.
Разбор 4 Найдите x для коллинеарности векторов p и q
Найдите x для коллинеарности векторов p и qС пояснением
1) Если векторы p и q коллинеарны, то q = kp для некоторого числа k.2) Тогда xa + b = k(2a + b) = 2ka + kb.3) Так как a и b неколлинеарны, равны соответствующие коэффициенты при них:
x = 2k,
1 = k.4) Получаем k = 1, поэтому x = 2.Ответ: x = 2.
Кратко q = kp, поэтому xa + b = 2ka + kb.
Из неколлинеарности a и b следует: k = 1 и x = 2k = 2.Ответ: x = 2.
x = 2k,
1 = k.4) Получаем k = 1, поэтому x = 2.Ответ: x = 2.
Кратко q = kp, поэтому xa + b = 2ka + kb.
Из неколлинеарности a и b следует: k = 1 и x = 2k = 2.Ответ: x = 2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если векторы m иnсонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, a если m иn противоположно направлены, причём |m| > |n|, то |m + n| = |m|-|n|.
Задание учебника 2023 года
Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны: а) p = 2a-b, q = a + xb; б) р = xa-b, q-a + xb; в) р = а + xb, q = а- 2b; г) p = 2a + b, q = xa + b
