Упр.982 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойство центра вписанной окружностиС пояснением
Пусть в четырёхугольник ABCD вписана окружность с центром O.1) Радиусы, проведённые в точки касания окружности со сторонами, перпендикулярны этим сторонам. Поэтому расстояния от точки O до всех сторон четырёхугольника равны радиусу окружности.2) Рассмотрим угол A. Точка O равноудалена от его сторон AB и AD. По свойству биссектрисы угла такая точка лежит на биссектрисе угла A.3) Аналогично точка O лежит на биссектрисах углов B, C и D.Значит, все биссектрисы углов четырёхугольника проходят через точку O.Ответ: центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов четырёхугольника.
Кратко Пусть O — центр вписанной окружности. Расстояния от O до каждой стороны четырёхугольника равны радиусу окружности. Следовательно, O равноудалена от сторон каждого угла, а значит, лежит на биссектрисе каждого из них.Ответ: O — точка пересечения биссектрис всех углов четырёхугольника.
Кратко Пусть O — центр вписанной окружности. Расстояния от O до каждой стороны четырёхугольника равны радиусу окружности. Следовательно, O равноудалена от сторон каждого угла, а значит, лежит на биссектрисе каждого из них.Ответ: O — точка пересечения биссектрис всех углов четырёхугольника.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти множество точек M
Найти множество точек MС пояснением
1) Так как B — середина AC и AC = 2, то AB = BC = 1.2) По теореме о медиане:
AM² + CM² = 2BM² + 2AB² = 2BM² + 2.3) Тогда
AM² + BM² + CM² = 3BM² + 2 = 50,
3BM² = 48,
BM² = 16,
BM = 4.Значит, все искомые точки M находятся на расстоянии 4 от точки B.Ответ: окружность с центром B и радиусом 4.
Кратко AM² + CM² = 2BM² + 2AB², причём AB = 1.2BM² + 2 + BM² = 50,
BM = 4.Ответ: окружность с центром B и радиусом 4.
AM² + CM² = 2BM² + 2AB² = 2BM² + 2.3) Тогда
AM² + BM² + CM² = 3BM² + 2 = 50,
3BM² = 48,
BM² = 16,
BM = 4.Значит, все искомые точки M находятся на расстоянии 4 от точки B.Ответ: окружность с центром B и радиусом 4.
Кратко AM² + CM² = 2BM² + 2AB², причём AB = 1.2BM² + 2 + BM² = 50,
BM = 4.Ответ: окружность с центром B и радиусом 4.
Разбор 2 Найти множество точек M
Найти множество точек MС пояснением
1) Введём систему координат с началом в точке B, направив ось Ox вдоль AC. Тогда A(−1; 0), B(0; 0), C(1; 0). Пусть M(x; y).2) По формуле расстояния:
AM² = (x + 1)² + y²,
BM² = x² + y²,
CM² = (x − 1)² + y².3) Подставим эти выражения в условие:
(x + 1)² + y² + 2(x² + y²) + 3((x − 1)² + y²) = 4,
6x² + 6y² − 4x = 0,
(x − 1/3)² + y² = 1/9.Это уравнение окружности с центром D(1/3; 0) и радиусом 1/3. Точка D лежит на отрезке BC, причём BD = 1/3.Ответ: окружность с центром D на отрезке BC, где BD = 1/3, и радиусом 1/3.
Кратко Пусть B(0; 0), A(−1; 0), C(1; 0), M(x; y). Тогда
(x + 1)² + y² + 2(x² + y²) + 3((x − 1)² + y²) = 4,
(x − 1/3)² + y² = 1/9.Ответ: окружность радиуса 1/3 с центром на отрезке BC на расстоянии 1/3 от точки B.
AM² = (x + 1)² + y²,
BM² = x² + y²,
CM² = (x − 1)² + y².3) Подставим эти выражения в условие:
(x + 1)² + y² + 2(x² + y²) + 3((x − 1)² + y²) = 4,
6x² + 6y² − 4x = 0,
(x − 1/3)² + y² = 1/9.Это уравнение окружности с центром D(1/3; 0) и радиусом 1/3. Точка D лежит на отрезке BC, причём BD = 1/3.Ответ: окружность с центром D на отрезке BC, где BD = 1/3, и радиусом 1/3.
Кратко Пусть B(0; 0), A(−1; 0), C(1; 0), M(x; y). Тогда
(x + 1)² + y² + 2(x² + y²) + 3((x − 1)² + y²) = 4,
(x − 1/3)² + y² = 1/9.Ответ: окружность радиуса 1/3 с центром на отрезке BC на расстоянии 1/3 от точки B.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.
Задание учебника 2023 года
очка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + 3СМ2 = 4
