Упр.980 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему о средней линии треугольникаС пояснением
Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.Дано: в треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.
Доказать: MN ∥ BC и MN = 1/2 BC.Доказательство.
1) Так как M и N — середины сторон AB и AC, то AM = 1/2 AB и AN = 1/2 AC. Поэтому AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
2) Угол MAN является общим для треугольников AMN и ABC. Значит, эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
3) Из подобия следует, что ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC.
4) Также MN : BC = AM : AB = 1 : 2, следовательно, MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине; теорема доказана.
Кратко Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2, а угол A — общий. Поэтому △AMN ∼ △ABC. Следовательно, ∠AMN = ∠ABC, значит, MN ∥ BC. Кроме того, MN : BC = 1 : 2, то есть MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Доказать: MN ∥ BC и MN = 1/2 BC.Доказательство.
1) Так как M и N — середины сторон AB и AC, то AM = 1/2 AB и AN = 1/2 AC. Поэтому AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
2) Угол MAN является общим для треугольников AMN и ABC. Значит, эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
3) Из подобия следует, что ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC.
4) Также MN : BC = AM : AB = 1 : 2, следовательно, MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине; теорема доказана.
Кратко Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2, а угол A — общий. Поэтому △AMN ∼ △ABC. Следовательно, ∠AMN = ∠ABC, значит, MN ∥ BC. Кроме того, MN : BC = 1 : 2, то есть MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти уравнения прямых, содержащих стороны ромбаС пояснением
1) Диагонали ромба пересекаются в серединах. Поместим их точку пересечения в начало координат. Пусть диагональ длиной 10 см лежит на оси Ox, а диагональ длиной 4 см — на оси Oy. Тогда вершины ромба имеют координаты:
A(5; 0), B(0; 2), C(−5; 0), D(0; −2).2) Прямая AB проходит через точки (5; 0) и (0; 2), поэтому её уравнение:
2x + 5y = 10.3) Аналогично получаем уравнения остальных прямых:
BC: −2x + 5y = 10;
CD: −2x − 5y = 10;
DA: 2x − 5y = 10.Если диагональ длиной 4 см лежит на оси Ox, а диагональ длиной 10 см — на оси Oy, то в уравнениях коэффициенты 2 и 5 меняются местами.Ответ: 2x + 5y = 10; −2x + 5y = 10; −2x − 5y = 10; 2x − 5y = 10. При другом расположении диагоналей: 5x + 2y = 10; −5x + 2y = 10; −5x − 2y = 10; 5x − 2y = 10.
Кратко Пусть диагональ 10 см лежит на оси Ox, а диагональ 4 см — на оси Oy. Тогда вершины ромба: (±5; 0), (0; ±2).Прямые, содержащие его стороны:
2x + 5y = 10;
−2x + 5y = 10;
−2x − 5y = 10;
2x − 5y = 10.Ответ: 2x ± 5y = 10 и −2x ± 5y = 10. Если диагонали поменять осями, коэффициенты 2 и 5 также меняются местами.
A(5; 0), B(0; 2), C(−5; 0), D(0; −2).2) Прямая AB проходит через точки (5; 0) и (0; 2), поэтому её уравнение:
2x + 5y = 10.3) Аналогично получаем уравнения остальных прямых:
BC: −2x + 5y = 10;
CD: −2x − 5y = 10;
DA: 2x − 5y = 10.Если диагональ длиной 4 см лежит на оси Ox, а диагональ длиной 10 см — на оси Oy, то в уравнениях коэффициенты 2 и 5 меняются местами.Ответ: 2x + 5y = 10; −2x + 5y = 10; −2x − 5y = 10; 2x − 5y = 10. При другом расположении диагоналей: 5x + 2y = 10; −5x + 2y = 10; −5x − 2y = 10; 5x − 2y = 10.
Кратко Пусть диагональ 10 см лежит на оси Ox, а диагональ 4 см — на оси Oy. Тогда вершины ромба: (±5; 0), (0; ±2).Прямые, содержащие его стороны:
2x + 5y = 10;
−2x + 5y = 10;
−2x − 5y = 10;
2x − 5y = 10.Ответ: 2x ± 5y = 10 и −2x ± 5y = 10. Если диагонали поменять осями, коэффициенты 2 и 5 также меняются местами.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
Задание учебника 2023 года
Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.
