Упр.914 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему Менелая для продолжений сторонС пояснением
Опустим из вершин A, B и C перпендикуляры AA₂, BB₂ и CC₂ на прямую m.1) Прямоугольные треугольники AA₂C₁ и BB₂C₁ подобны по двум углам. Поэтому
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂.2) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников BB₂A₁ и CC₂A₁ получаем
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂.3) Из подобия прямоугольных треугольников CC₂B₁ и AA₂B₁ получаем
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Перемножим равенства:
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: теорема Менелая доказана.
Кратко Пусть AA₂, BB₂ и CC₂ — перпендикуляры к прямой m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂,
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂,
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Следовательно,
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: равенство доказано.
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂.2) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников BB₂A₁ и CC₂A₁ получаем
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂.3) Из подобия прямоугольных треугольников CC₂B₁ и AA₂B₁ получаем
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Перемножим равенства:
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: теорема Менелая доказана.
Кратко Пусть AA₂, BB₂ и CC₂ — перпендикуляры к прямой m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂,
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂,
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Следовательно,
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать неколлинеарность данных векторовС пояснением
Если x·a + y·b = 0, где a и b не коллинеарны, то x = 0 и y = 0. Иначе один из векторов выражался бы через другой и они были бы коллинеарны.а) Предположим, что a + b и a − b коллинеарны. Тогда a + b = k(a − b), откуда
(1 − k)a + (1 + k)b = 0.
Значит, 1 − k = 0 и 1 + k = 0, то есть одновременно k = 1 и k = −1. Это невозможно.б) Предположим, что 2a − b и a + b коллинеарны. Тогда
2a − b = k(a + b),
(2 − k)a + (−1 − k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 2 и k = −1, что невозможно.в) Предположим, что a + b и a + 3b коллинеарны. Тогда
a + b = k(a + 3b),
(1 − k)a + (1 − 3k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 1 и k = 1/3, что невозможно.Ответ: во всех трёх случаях данные векторы не коллинеарны.
Кратко Так как a и b не коллинеарны, из равенства x·a + y·b = 0 следует x = y = 0.а) a + b = k(a − b) дало бы k = 1 и k = −1 одновременно — невозможно.
б) 2a − b = k(a + b) дало бы k = 2 и k = −1 одновременно — невозможно.
в) a + b = k(a + 3b) дало бы k = 1 и k = 1/3 одновременно — невозможно.Ответ: все указанные пары векторов не коллинеарны.
(1 − k)a + (1 + k)b = 0.
Значит, 1 − k = 0 и 1 + k = 0, то есть одновременно k = 1 и k = −1. Это невозможно.б) Предположим, что 2a − b и a + b коллинеарны. Тогда
2a − b = k(a + b),
(2 − k)a + (−1 − k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 2 и k = −1, что невозможно.в) Предположим, что a + b и a + 3b коллинеарны. Тогда
a + b = k(a + 3b),
(1 − k)a + (1 − 3k)b = 0.
Отсюда одновременно k = 1 и k = 1/3, что невозможно.Ответ: во всех трёх случаях данные векторы не коллинеарны.
Кратко Так как a и b не коллинеарны, из равенства x·a + y·b = 0 следует x = y = 0.а) a + b = k(a − b) дало бы k = 1 и k = −1 одновременно — невозможно.
б) 2a − b = k(a + b) дало бы k = 2 и k = −1 одновременно — невозможно.
в) a + b = k(a + 3b) дало бы k = 1 и k = 1/3 одновременно — невозможно.Ответ: все указанные пары векторов не коллинеарны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если векторы а и b не коллинеарны, то: а) векторы а + b и а-b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а + b не коллинеарны; в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны.
