Упр.909 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что отражения ортоцентра лежат на описанной окружностиС пояснением
1) Рассмотрим точку A′. При симметрии относительно прямой BC точка H переходит в A′, а точки B и C остаются на месте. Поэтому ∠BA′C = ∠BHC.2) Так как BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, то угол между прямыми BH и CH дополняет угол BAC до 180°:
∠BHC = 180° − ∠BAC.
Следовательно,
∠BA′C + ∠BAC = 180°.
Значит, четырёхугольник ABA′C вписанный, поэтому A′ лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.3) Аналогично для точек B′ и C′:
∠CB′A + ∠CBA = 180°, поэтому B′ лежит на этой окружности;
∠AC′B + ∠ACB = 180°, поэтому C′ также лежит на этой окружности.Ответ: точки A′, B′ и C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Кратко При отражении относительно BC точки B и C остаются на месте, поэтому ∠BA′C = ∠BHC. Поскольку BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, имеем ∠BHC = 180° − ∠BAC. Значит,
∠BA′C + ∠BAC = 180°,
следовательно, точки A, B, A′, C лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежат B′ и C′.Ответ: A′, B′, C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
∠BHC = 180° − ∠BAC.
Следовательно,
∠BA′C + ∠BAC = 180°.
Значит, четырёхугольник ABA′C вписанный, поэтому A′ лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.3) Аналогично для точек B′ и C′:
∠CB′A + ∠CBA = 180°, поэтому B′ лежит на этой окружности;
∠AC′B + ∠ACB = 180°, поэтому C′ также лежит на этой окружности.Ответ: точки A′, B′ и C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Кратко При отражении относительно BC точки B и C остаются на месте, поэтому ∠BA′C = ∠BHC. Поскольку BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, имеем ∠BHC = 180° − ∠BAC. Значит,
∠BA′C + ∠BAC = 180°,
следовательно, точки A, B, A′, C лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежат B′ и C′.Ответ: A′, B′, C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать коллинеарность точек A₁, B₁, C₁С пояснением
Обозначим длины сторон треугольника: a = BC, b = CA, c = AB, а радиус-векторы вершин — A⃗, B⃗, C⃗.1) По свойству биссектрисы внешнего угла она делит противоположную сторону внешним образом в отношении прилежащих сторон. Поэтому:
BA₁/A₁C = −c/b, CB₁/B₁A = −a/c, AC₁/C₁B = −b/a.Отсюда радиус-векторы точек равны:
A⃗₁ = (bB⃗ − cC⃗)/(b − c),
B⃗₁ = (cC⃗ − aA⃗)/(c − a),
C⃗₁ = (aA⃗ − bB⃗)/(a − b).2) Умножим равенства на знаменатели и сложим:
(b − c)A⃗₁ + (c − a)B⃗₁ + (a − b)C⃗₁ =
= bB⃗ − cC⃗ + cC⃗ − aA⃗ + aA⃗ − bB⃗ = 0⃗.При этом
(b − c) + (c − a) + (a − b) = 0.3) Поэтому полученное равенство можно записать так:
(b − c)(A⃗₁ − C⃗₁) + (c − a)(B⃗₁ − C⃗₁) = 0⃗.Значит, векторы C₁A₁ и C₁B₁ пропорциональны, то есть лежат на одной прямой. Следовательно, точки A₁, B₁ и C₁ коллинеарны.Ответ: точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB. По свойству внешней биссектрисы:
A⃗₁ = (bB⃗ − cC⃗)/(b − c), B⃗₁ = (cC⃗ − aA⃗)/(c − a), C⃗₁ = (aA⃗ − bB⃗)/(a − b).Тогда
(b − c)A⃗₁ + (c − a)B⃗₁ + (a − b)C⃗₁ = 0⃗,
причём
(b − c) + (c − a) + (a − b) = 0.Следовательно,
(b − c)(A⃗₁ − C⃗₁) + (c − a)(B⃗₁ − C⃗₁) = 0⃗.
Векторы C₁A₁ и C₁B₁ пропорциональны, поэтому точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.Ответ: A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
BA₁/A₁C = −c/b, CB₁/B₁A = −a/c, AC₁/C₁B = −b/a.Отсюда радиус-векторы точек равны:
A⃗₁ = (bB⃗ − cC⃗)/(b − c),
B⃗₁ = (cC⃗ − aA⃗)/(c − a),
C⃗₁ = (aA⃗ − bB⃗)/(a − b).2) Умножим равенства на знаменатели и сложим:
(b − c)A⃗₁ + (c − a)B⃗₁ + (a − b)C⃗₁ =
= bB⃗ − cC⃗ + cC⃗ − aA⃗ + aA⃗ − bB⃗ = 0⃗.При этом
(b − c) + (c − a) + (a − b) = 0.3) Поэтому полученное равенство можно записать так:
(b − c)(A⃗₁ − C⃗₁) + (c − a)(B⃗₁ − C⃗₁) = 0⃗.Значит, векторы C₁A₁ и C₁B₁ пропорциональны, то есть лежат на одной прямой. Следовательно, точки A₁, B₁ и C₁ коллинеарны.Ответ: точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB. По свойству внешней биссектрисы:
A⃗₁ = (bB⃗ − cC⃗)/(b − c), B⃗₁ = (cC⃗ − aA⃗)/(c − a), C⃗₁ = (aA⃗ − bB⃗)/(a − b).Тогда
(b − c)A⃗₁ + (c − a)B⃗₁ + (a − b)C⃗₁ = 0⃗,
причём
(b − c) + (c − a) + (a − b) = 0.Следовательно,
(b − c)(A⃗₁ − C⃗₁) + (c − a)(B⃗₁ − C⃗₁) = 0⃗.
Векторы C₁A₁ и C₁B₁ пропорциональны, поэтому точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.Ответ: A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А', В', С' — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А', В', С' лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Задание учебника 2023 года
Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах А, В и С пересекают прямые ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, B1 и С1. Используя векторы, докажите, что точки А1, В1 и C1 лежат на одной прямой.
