Упр.912 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство одного отрезка сумме двух другихС пояснением
Пусть X лежит на дуге BC, не содержащей A. Докажем, что AX = BX + CX.1) Так как четырёхугольник ABXC вписан в окружность, то ∠AXC = ∠ABC = 60°.2) На отрезке AX отметим точку D так, чтобы XD = XC. Тогда ∠DXC = 60°, поэтому треугольник XDC равносторонний и DC = XC, ∠DCX = 60°.3) ∠ACD = ∠ACX − ∠DCX = (60° + ∠BCX) − 60° = ∠BCX.4) Треугольники ACD и BCX равны по двум сторонам и углу между ними: AC = BC, CD = CX и ∠ACD = ∠BCX. Значит, AD = BX.5) Поэтому AX = AD + DX = BX + CX.Если X лежит на другой дуге, рассуждение аналогично после перестановки букв. При X, совпадающей с вершиной, один из отрезков равен нулю, и утверждение также верно.Ответ: один из отрезков AX, BX, CX равен сумме двух других.
Кратко Пусть X лежит на дуге BC, не содержащей A. На AX выберем D так, что XD = XC. Поскольку ∠AXC = 60°, треугольник XDC равносторонний. Далее ∠ACD = ∠BCX, поэтому △ACD = △BCX и AD = BX. Следовательно,
AX = AD + DX = BX + CX.
Для остальных дуг доказательство аналогично.Ответ: один из отрезков AX, BX, CX равен сумме двух других.
Кратко Пусть X лежит на дуге BC, не содержащей A. На AX выберем D так, что XD = XC. Поскольку ∠AXC = 60°, треугольник XDC равносторонний. Далее ∠ACD = ∠BCX, поэтому △ACD = △BCX и AD = BX. Следовательно,
AX = AD + DX = BX + CX.
Для остальных дуг доказательство аналогично.Ответ: один из отрезков AX, BX, CX равен сумме двух других.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти k в равенстве AC = kAO
Найти k в равенстве AC = kAOС пояснением
1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC.
2) AC = AO + OC = 2AO.
Значит, k = 2.
Ответ: 2.
Кратко Так как O — середина диагонали AC, то AC = 2AO. Следовательно, k = 2.
Ответ: 2.
2) AC = AO + OC = 2AO.
Значит, k = 2.
Ответ: 2.
Кратко Так как O — середина диагонали AC, то AC = 2AO. Следовательно, k = 2.
Ответ: 2.
Разбор 2 Найдите k в равенстве BO = kBD
Найдите k в равенстве BO = kBDС пояснением
1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — середина диагонали BD.
2) Следовательно, BO = 1/2 BD, значит, k = 1/2.Ответ: k = 1/2.
Кратко Так как O — середина диагонали BD, то BO = BD : 2.
Следовательно, k = 1/2.Ответ: 1/2.
2) Следовательно, BO = 1/2 BD, значит, k = 1/2.Ответ: k = 1/2.
Кратко Так как O — середина диагонали BD, то BO = BD : 2.
Следовательно, k = 1/2.Ответ: 1/2.
Разбор 3 Найдите k в равенстве векторов OC = kCA
Найдите k в равенстве векторов OC = kCAС пояснением
1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — середина AC.
2) Вектор OC в 2 раза короче вектора CA и направлен противоположно ему.
3) Поэтому вектор OC = −1/2 · вектор CA, значит, k = −1/2.
Ответ: k = −1/2.
Кратко Векторы OC и CA направлены противоположно, причём OC = 1/2 CA по длине.
Следовательно, k = −1/2.
Ответ: −1/2.
2) Вектор OC в 2 раза короче вектора CA и направлен противоположно ему.
3) Поэтому вектор OC = −1/2 · вектор CA, значит, k = −1/2.
Ответ: k = −1/2.
Кратко Векторы OC и CA направлены противоположно, причём OC = 1/2 CA по длине.
Следовательно, k = −1/2.
Ответ: −1/2.
Разбор 4 Найдите k в равенстве AB = kDC
Найдите k в равенстве AB = kDCС пояснением
1) В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = DC.
2) Следовательно, AB = 1 · DC, значит, k = 1.Ответ: k = 1.
Кратко AB = DC, поэтому k = 1.Ответ: 1.
2) Следовательно, AB = 1 · DC, значит, k = 1.Ответ: k = 1.
Кратко AB = DC, поэтому k = 1.Ответ: 1.
Разбор 5 Найдите k в равенстве BC = kDA
Найдите k в равенстве BC = kDAС пояснением
1) В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы BC и DA имеют равные длины, но противоположные направления.
2) Следовательно, BC = −DA, значит, k = −1.Точка M для решения этого пункта не используется.Ответ: k = −1.
Кратко Векторы BC и DA противоположно направлены и равны по длине, поэтому BC = −DA.Ответ: k = −1.
2) Следовательно, BC = −DA, значит, k = −1.Точка M для решения этого пункта не используется.Ответ: k = −1.
Кратко Векторы BC и DA противоположно направлены и равны по длине, поэтому BC = −DA.Ответ: k = −1.
Разбор 6 Найти k в равенстве векторов AM = kCA
Найти k в равенстве векторов AM = kCAС пояснением
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = 1/2 AC.
2) M — середина AO, значит AM = 1/2 AO = 1/4 AC.
3) Векторы AC и CA противоположно направлены, поэтому AM = −1/4 CA.Ответ: k = −1/4.
Кратко AM = 1/4 AC = −1/4 CA.Ответ: k = −1/4.
2) M — середина AO, значит AM = 1/2 AO = 1/4 AC.
3) Векторы AC и CA противоположно направлены, поэтому AM = −1/4 CA.Ответ: k = −1/4.
Кратко AM = 1/4 AC = −1/4 CA.Ответ: k = −1/4.
Разбор 7 Найдите число k в равенстве MC = kAM
Найдите число k в равенстве MC = kAMС пояснением
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC.
2) M — середина AO, значит AO = 2AM, а MO = AM.
3) MC = MO + OC = AM + 2AM = 3AM.
Следовательно, k = 3.
Ответ: 3.
Кратко AO = OC = 2AM, поэтому MC = MO + OC = AM + 2AM = 3AM.
Ответ: k = 3.
2) M — середина AO, значит AO = 2AM, а MO = AM.
3) MC = MO + OC = AM + 2AM = 3AM.
Следовательно, k = 3.
Ответ: 3.
Кратко AO = OC = 2AM, поэтому MC = MO + OC = AM + 2AM = 3AM.
Ответ: k = 3.
Разбор 8 Найдите k в равенстве AC = kCM
Найдите k в равенстве AC = kCMС пояснением
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC.
2) M — середина AO, значит OM = AO : 2 = OC : 2.
3) CM = CO + OM = CO + CO : 2 = 3/2 CO. Следовательно, |AC| = 2CO = 4/3 CM по длине.
4) Векторы AC и CM направлены в противоположные стороны, поэтому коэффициент отрицательный:
k = −4/3.Ответ: k = −4/3.
Кратко Векторы AC и CM противоположно направлены, причём |CM| = 3/4|AC|.
Следовательно, AC = −4/3 CM.Ответ: k = −4/3.
2) M — середина AO, значит OM = AO : 2 = OC : 2.
3) CM = CO + OM = CO + CO : 2 = 3/2 CO. Следовательно, |AC| = 2CO = 4/3 CM по длине.
4) Векторы AC и CM направлены в противоположные стороны, поэтому коэффициент отрицательный:
k = −4/3.Ответ: k = −4/3.
Кратко Векторы AC и CM противоположно направлены, причём |CM| = 3/4|AC|.
Следовательно, AC = −4/3 CM.Ответ: k = −4/3.
Разбор 9 Можно ли представить AO как kBD?
Можно ли представить AO как kBD?С пояснением
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = AC : 2.
2) Равенство AO = kBD можно записать так: AC : 2 = kBD, откуда k = AC : (2BD).
3) В общем случае длины диагоналей AC и BD неизвестны и могут быть различными, поэтому определить конкретное число k невозможно. Данных недостаточно. Точка M для решения не используется.
Ответ: найти конкретное число k невозможно.
Кратко AO = AC : 2, поэтому k = AC : (2BD). Так как длины диагоналей не заданы, конкретное значение k найти невозможно.
Ответ: определить число k невозможно.
2) Равенство AO = kBD можно записать так: AC : 2 = kBD, откуда k = AC : (2BD).
3) В общем случае длины диагоналей AC и BD неизвестны и могут быть различными, поэтому определить конкретное число k невозможно. Данных недостаточно. Точка M для решения не используется.
Ответ: найти конкретное число k невозможно.
Кратко AO = AC : 2, поэтому k = AC : (2BD). Так как длины диагоналей не заданы, конкретное значение k найти невозможно.
Ответ: определить число k невозможно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.
Задание учебника 2023 года
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число k, чтобы выполнялось равенство а) АС = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA; г) АВ = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA; ж) MC = kAM; з) АС = kCM; и) АО = kBD.
