Упр.910 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать формулу для биссектрисы BDС пояснением
Продлим биссектрису BD до пересечения с описанной около треугольника ABC окружностью в точке E.1) Рассмотрим треугольники ABE и DBC. Так как BD — биссектриса, то ∠ABE = ∠DBC. Кроме того, ∠AEB = ∠ACB = ∠DCB как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. Значит, △ABE ∼ △DBC.2) Из подобия треугольников:
AB/BD = BE/BC,
поэтому
BD · BE = AB · BC.3) Хорды AC и BE пересекаются в точке D, следовательно:
AD · DC = BD · DE.4) Так как BE = BD + DE, получаем:
AB · BC = BD · BE = BD(BD + DE) = BD² + BD · DE = BD² + AD · DC.Следовательно,
BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Кратко Продлим BD до пересечения с описанной окружностью в точке E.1) △ABE ∼ △DBC, поэтому BD · BE = AB · BC.
2) По теореме о пересекающихся хордах BD · DE = AD · DC.
3) Так как BE = BD + DE, то
AB · BC = BD(BD + DE) = BD² + AD · DC.
Значит, BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
AB/BD = BE/BC,
поэтому
BD · BE = AB · BC.3) Хорды AC и BE пересекаются в точке D, следовательно:
AD · DC = BD · DE.4) Так как BE = BD + DE, получаем:
AB · BC = BD · BE = BD(BD + DE) = BD² + BD · DE = BD² + AD · DC.Следовательно,
BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Кратко Продлим BD до пересечения с описанной окружностью в точке E.1) △ABE ∼ △DBC, поэтому BD · BE = AB · BC.
2) По теореме о пересекающихся хордах BD · DE = AD · DC.
3) Так как BE = BD + DE, то
AB · BC = BD(BD + DE) = BD² + AD · DC.
Значит, BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать векторно, что HG : GO = 2 : 1С пояснением
1) Примем точку O за начало отсчёта и обозначим радиус-векторы вершин A, B, C через a⃗, b⃗, c⃗. Так как O — центр описанной окружности, то |a⃗| = |b⃗| = |c⃗|.2) Рассмотрим точку с радиус-вектором h⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗. Тогда
(h⃗ − a⃗) · (b⃗ − c⃗) = (b⃗ + c⃗) · (b⃗ − c⃗) = |b⃗|² − |c⃗|² = 0.
Значит, прямая AH перпендикулярна BC. Аналогично BH ⟂ AC и CH ⟂ AB. Следовательно, эта точка является ортоцентром H, поэтому OH⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.3) Радиус-вектор точки пересечения медиан равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:
OG⃗ = (a⃗ + b⃗ + c⃗)/3 = OH⃗/3.
Следовательно, точки O, G и H лежат на одной прямой, причём G находится между O и H.4) OG = OH/3, а HG = OH − OG = 2OH/3. Поэтому
HG/GO = (2OH/3) : (OH/3) = 2.Ответ: G принадлежит отрезку HO и делит его в отношении HG : GO = 2 : 1.
Кратко Пусть O — начало отсчёта, а радиус-векторы вершин равны a⃗, b⃗, c⃗. Поскольку |a⃗| = |b⃗| = |c⃗|, радиус-вектор ортоцентра равен
OH⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.Для точки пересечения медиан:
OG⃗ = (a⃗ + b⃗ + c⃗)/3 = OH⃗/3.Значит, O, G, H лежат на одной прямой, OG = OH/3, а HG = 2OH/3. Поэтому HG/GO = 2.Ответ: G лежит на отрезке HO и HG : GO = 2 : 1.
(h⃗ − a⃗) · (b⃗ − c⃗) = (b⃗ + c⃗) · (b⃗ − c⃗) = |b⃗|² − |c⃗|² = 0.
Значит, прямая AH перпендикулярна BC. Аналогично BH ⟂ AC и CH ⟂ AB. Следовательно, эта точка является ортоцентром H, поэтому OH⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.3) Радиус-вектор точки пересечения медиан равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:
OG⃗ = (a⃗ + b⃗ + c⃗)/3 = OH⃗/3.
Следовательно, точки O, G и H лежат на одной прямой, причём G находится между O и H.4) OG = OH/3, а HG = OH − OG = 2OH/3. Поэтому
HG/GO = (2OH/3) : (OH/3) = 2.Ответ: G принадлежит отрезку HO и делит его в отношении HG : GO = 2 : 1.
Кратко Пусть O — начало отсчёта, а радиус-векторы вершин равны a⃗, b⃗, c⃗. Поскольку |a⃗| = |b⃗| = |c⃗|, радиус-вектор ортоцентра равен
OH⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.Для точки пересечения медиан:
OG⃗ = (a⃗ + b⃗ + c⃗)/3 = OH⃗/3.Значит, O, G, H лежат на одной прямой, OG = OH/3, а HG = 2OH/3. Поэтому HG/GO = 2.Ответ: G лежит на отрезке HO и HG : GO = 2 : 1.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD2 = АВ x ВС - AD x DC.
Задание учебника 2023 года
Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1, считая от точки Н, т. е.HG/GO=2.
