Упр.887 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник по трём высотамС пояснением
Пусть даны высоты hₐ, h_b и h_c.1) Выберем произвольный отрезок e. С помощью подобных треугольников построим отрезки xₐ, x_b, x_c так, чтобы
hₐ·xₐ = h_b·x_b = h_c·x_c = e².
Значит, xₐ : x_b : x_c = 1/hₐ : 1/h_b : 1/h_c.2) По трём сторонам xₐ, x_b, x_c построим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁, где B₁C₁ = xₐ, A₁C₁ = x_b, A₁B₁ = x_c.3) Проведём в нём высоту kₐ к стороне xₐ.4) Построим треугольник ABC, подобный A₁B₁C₁, с коэффициентом подобия hₐ/kₐ. Для этого на луче с началом A₁ отложим отрезок A₁A = hₐ, а на другом луче — A₁K = kₐ; дальнейшее построение выполним с помощью параллельных прямых.При подобии все высоты изменяются в одном отношении, поэтому высота нового треугольника, соответствующая kₐ, равна hₐ. Кроме того, из равенства площадей
xₐkₐ = x_bk_b = x_ck_c
следует, что остальные высоты нового треугольника равны h_b и h_c.Построение возможно, если отрезки xₐ, x_b, x_c удовлетворяют неравенствам треугольника.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Выбрать произвольный отрезок e и построить отрезки xₐ, x_b, x_c из равенств hₐxₐ = h_bx_b = h_cx_c = e².
2) Построить вспомогательный треугольник со сторонами xₐ, x_b, x_c.
3) Найти его высоту kₐ к стороне xₐ.
4) Построить подобный ему треугольник с коэффициентом hₐ : kₐ.Ответ: полученный треугольник имеет заданные высоты hₐ, h_b и h_c.
hₐ·xₐ = h_b·x_b = h_c·x_c = e².
Значит, xₐ : x_b : x_c = 1/hₐ : 1/h_b : 1/h_c.2) По трём сторонам xₐ, x_b, x_c построим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁, где B₁C₁ = xₐ, A₁C₁ = x_b, A₁B₁ = x_c.3) Проведём в нём высоту kₐ к стороне xₐ.4) Построим треугольник ABC, подобный A₁B₁C₁, с коэффициентом подобия hₐ/kₐ. Для этого на луче с началом A₁ отложим отрезок A₁A = hₐ, а на другом луче — A₁K = kₐ; дальнейшее построение выполним с помощью параллельных прямых.При подобии все высоты изменяются в одном отношении, поэтому высота нового треугольника, соответствующая kₐ, равна hₐ. Кроме того, из равенства площадей
xₐkₐ = x_bk_b = x_ck_c
следует, что остальные высоты нового треугольника равны h_b и h_c.Построение возможно, если отрезки xₐ, x_b, x_c удовлетворяют неравенствам треугольника.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Выбрать произвольный отрезок e и построить отрезки xₐ, x_b, x_c из равенств hₐxₐ = h_bx_b = h_cx_c = e².
2) Построить вспомогательный треугольник со сторонами xₐ, x_b, x_c.
3) Найти его высоту kₐ к стороне xₐ.
4) Построить подобный ему треугольник с коэффициентом hₐ : kₐ.Ответ: полученный треугольник имеет заданные высоты hₐ, h_b и h_c.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу для биссектрисы BDС пояснением
Продлим биссектрису BD до пересечения с описанной около треугольника ABC окружностью в точке E.1) Рассмотрим треугольники ABE и DBC. Так как BD — биссектриса, то ∠ABE = ∠DBC. Кроме того, ∠AEB = ∠ACB = ∠DCB как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. Значит, △ABE ∼ △DBC.2) Из подобия треугольников:
AB/BD = BE/BC,
поэтому
BD · BE = AB · BC.3) Хорды AC и BE пересекаются в точке D, следовательно:
AD · DC = BD · DE.4) Так как BE = BD + DE, получаем:
AB · BC = BD · BE = BD(BD + DE) = BD² + BD · DE = BD² + AD · DC.Следовательно,
BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Кратко Продлим BD до пересечения с описанной окружностью в точке E.1) △ABE ∼ △DBC, поэтому BD · BE = AB · BC.
2) По теореме о пересекающихся хордах BD · DE = AD · DC.
3) Так как BE = BD + DE, то
AB · BC = BD(BD + DE) = BD² + AD · DC.
Значит, BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
AB/BD = BE/BC,
поэтому
BD · BE = AB · BC.3) Хорды AC и BE пересекаются в точке D, следовательно:
AD · DC = BD · DE.4) Так как BE = BD + DE, получаем:
AB · BC = BD · BE = BD(BD + DE) = BD² + BD · DE = BD² + AD · DC.Следовательно,
BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Кратко Продлим BD до пересечения с описанной окружностью в точке E.1) △ABE ∼ △DBC, поэтому BD · BE = AB · BC.
2) По теореме о пересекающихся хордах BD · DE = AD · DC.
3) Так как BE = BD + DE, то
AB · BC = BD(BD + DE) = BD² + AD · DC.
Значит, BD² = AB · BC − AD · DC.Ответ: доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте треугольник по трём высотам.
Задание учебника 2023 года
Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD2 = АВ x ВС - AD x DC.
