Упр.891 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему Менелая для продолжений сторонС пояснением
Опустим из вершин A, B и C перпендикуляры AA₂, BB₂ и CC₂ на прямую m.1) Прямоугольные треугольники AA₂C₁ и BB₂C₁ подобны по двум углам. Поэтому
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂.2) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников BB₂A₁ и CC₂A₁ получаем
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂.3) Из подобия прямоугольных треугольников CC₂B₁ и AA₂B₁ получаем
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Перемножим равенства:
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: теорема Менелая доказана.
Кратко Пусть AA₂, BB₂ и CC₂ — перпендикуляры к прямой m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂,
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂,
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Следовательно,
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: равенство доказано.
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂.2) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников BB₂A₁ и CC₂A₁ получаем
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂.3) Из подобия прямоугольных треугольников CC₂B₁ и AA₂B₁ получаем
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Перемножим равенства:
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: теорема Менелая доказана.
Кратко Пусть AA₂, BB₂ и CC₂ — перпендикуляры к прямой m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AA₂/BB₂,
BA₁/A₁C = BB₂/CC₂,
CB₁/B₁A = CC₂/AA₂.Следовательно,
AC₁/C₁B · BA₁/A₁C · CB₁/B₁A = AA₂/BB₂ · BB₂/CC₂ · CC₂/AA₂ = 1.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство CD = BC + ADС пояснением
Обозначим ∠A = 2α, ∠B = 2β. Тогда, поскольку ABCD — вписанный четырёхугольник,
∠C = 180° − 2α, ∠D = 180° − 2β.Пусть E — точка пересечения биссектрис, E ∈ CD. Тогда
∠BAE = ∠EAD = α, ∠ABE = ∠EBC = β.1) Из треугольников BCE и ADE по теореме синусов получаем:
CE = BC · sin β / sin(2α − β),
DE = AD · sin α / sin(2β − α).2) Применяя теорему синусов к треугольникам ABE, BCE и ADE, находим:
AD / BC = cos α · sin(2β − α) / (cos β · sin(2α − β)).3) Подставим это отношение в сумму CE + DE. После приведения к общему знаменателю и использования формул
sin x − sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)
получаем:
CE + DE = BC + AD.Но E лежит на стороне CD, поэтому CD = CE + DE. Следовательно,
CD = BC + AD.Ответ: доказано, что CD = BC + AD.
Кратко Пусть E — точка пересечения биссектрис, E ∈ CD, а ∠A = 2α, ∠B = 2β. Тогда ∠C = 180° − 2α и ∠D = 180° − 2β.По теореме синусов для треугольников BCE, ADE и ABE:
CE = BC · sin β / sin(2α − β),
DE = AD · sin α / sin(2β − α),
AD / BC = cos α · sin(2β − α) / (cos β · sin(2α − β)).Подстановка последнего равенства в первые два даёт CE + DE = BC + AD. Так как E ∈ CD, то CD = CE + DE.Ответ: CD = BC + AD.
∠C = 180° − 2α, ∠D = 180° − 2β.Пусть E — точка пересечения биссектрис, E ∈ CD. Тогда
∠BAE = ∠EAD = α, ∠ABE = ∠EBC = β.1) Из треугольников BCE и ADE по теореме синусов получаем:
CE = BC · sin β / sin(2α − β),
DE = AD · sin α / sin(2β − α).2) Применяя теорему синусов к треугольникам ABE, BCE и ADE, находим:
AD / BC = cos α · sin(2β − α) / (cos β · sin(2α − β)).3) Подставим это отношение в сумму CE + DE. После приведения к общему знаменателю и использования формул
sin x − sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)
получаем:
CE + DE = BC + AD.Но E лежит на стороне CD, поэтому CD = CE + DE. Следовательно,
CD = BC + AD.Ответ: доказано, что CD = BC + AD.
Кратко Пусть E — точка пересечения биссектрис, E ∈ CD, а ∠A = 2α, ∠B = 2β. Тогда ∠C = 180° − 2α и ∠D = 180° − 2β.По теореме синусов для треугольников BCE, ADE и ABE:
CE = BC · sin β / sin(2α − β),
DE = AD · sin α / sin(2β − α),
AD / BC = cos α · sin(2β − α) / (cos β · sin(2α − β)).Подстановка последнего равенства в первые два даёт CE + DE = BC + AD. Так как E ∈ CD, то CD = CE + DE.Ответ: CD = BC + AD.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда точки C_1, A_1 и B_1 лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС.
Задание учебника 2023 года
В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.
