Упр.883 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить точку D и выяснить существование решенияС пояснением
Пусть C — внутренняя точка отрезка AB.1) Если AC < CB, точка D должна лежать за точкой A. Построим отрезок AD из пропорции
AD : AB = AC : (CB − AC).
Такой отрезок строится с помощью вспомогательного угла и параллельных прямых. Тогда
AD(CB − AC) = AB · AC.
Так как DB = AD + AB, получаем AD · CB = AC · DB, то есть
AD/DB = AC/CB.2) Если AC > CB, точка D должна лежать за точкой B. Построим отрезок BD из пропорции
BD : AB = CB : (AC − CB).
Тогда аналогично AD/DB = AC/CB.3) Если AC = CB, то C — середина AB. Требовалось бы AD = DB. Но единственная точка прямой AB, равноудалённая от A и B, — середина отрезка AB, а она лежит на отрезке. Поэтому подходящей точки D нет.Ответ: задача имеет решение не всегда; для внутренней точки C решение существует при AC ≠ CB.
Кратко Если AC < CB, точку D строят за A, причём
AD : AB = AC : (CB − AC).Если AC > CB, точку D строят за B, причём
BD : AB = CB : (AC − CB).При AC = CB решения нет, так как точка, равноудалённая от A и B, лежит в середине отрезка AB.Ответ: не всегда; решение существует при AC ≠ CB.
AD : AB = AC : (CB − AC).
Такой отрезок строится с помощью вспомогательного угла и параллельных прямых. Тогда
AD(CB − AC) = AB · AC.
Так как DB = AD + AB, получаем AD · CB = AC · DB, то есть
AD/DB = AC/CB.2) Если AC > CB, точка D должна лежать за точкой B. Построим отрезок BD из пропорции
BD : AB = CB : (AC − CB).
Тогда аналогично AD/DB = AC/CB.3) Если AC = CB, то C — середина AB. Требовалось бы AD = DB. Но единственная точка прямой AB, равноудалённая от A и B, — середина отрезка AB, а она лежит на отрезке. Поэтому подходящей точки D нет.Ответ: задача имеет решение не всегда; для внутренней точки C решение существует при AC ≠ CB.
Кратко Если AC < CB, точку D строят за A, причём
AD : AB = AC : (CB − AC).Если AC > CB, точку D строят за B, причём
BD : AB = CB : (AC − CB).При AC = CB решения нет, так как точка, равноудалённая от A и B, лежит в середине отрезка AB.Ответ: не всегда; решение существует при AC ≠ CB.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти множество концов построенных отрезковС пояснением
Пусть радиус окружности равен R, а P — конец отрезка, отложенного на радиусе OM. Проведём через O диаметр CD, перпендикулярный AB, где C и D лежат по разные стороны от AB.1) Выберем систему координат с началом в O и осью Ox вдоль AB. Пусть M=(x; y). Тогда x²+y²=R², а расстояние от M до AB равно |y|. Поэтому OP=|y|.2) Если M находится выше AB, то y≥0. Так как P лежит на луче OM и OP:OM=y:R, получаем координаты P:
X=xy/R, Y=y²/R.
Отсюда
X²+Y²=y²(x²+y²)/R²=y²=RY.
Равенство X²+Y²=RY задаёт окружность с диаметром OC.3) Если M находится ниже AB, аналогично получаем
X²+Y²=−RY.
Это окружность с диаметром OD.4) При изменении положения M получаются все точки обеих окружностей. Эти окружности равны и касаются друг друга в точке O.Ответ: две окружности с диаметрами OC и OD, где CD — диаметр исходной окружности, перпендикулярный AB.
Кратко Проведём диаметр CD⊥AB. Если M движется по верхней полуокружности, конец построенного отрезка описывает окружность с диаметром OC; если по нижней — окружность с диаметром OD.Ответ: две равные окружности с диаметрами OC и OD, касающиеся в точке O.
X=xy/R, Y=y²/R.
Отсюда
X²+Y²=y²(x²+y²)/R²=y²=RY.
Равенство X²+Y²=RY задаёт окружность с диаметром OC.3) Если M находится ниже AB, аналогично получаем
X²+Y²=−RY.
Это окружность с диаметром OD.4) При изменении положения M получаются все точки обеих окружностей. Эти окружности равны и касаются друг друга в точке O.Ответ: две окружности с диаметрами OC и OD, где CD — диаметр исходной окружности, перпендикулярный AB.
Кратко Проведём диаметр CD⊥AB. Если M движется по верхней полуокружности, конец построенного отрезка описывает окружность с диаметром OC; если по нижней — окружность с диаметром OD.Ответ: две равные окружности с диаметрами OC и OD, касающиеся в точке O.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?
Задание учебника 2023 года
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.
