Упр.881 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что AM — среднее пропорциональное MN и MPС пояснением
1) Рассмотрим треугольники MND и MAB. У них углы при M равны, а ∠MND = ∠MAB, так как ND ∥ AB. Значит, △MND ∼ △MAB, поэтому
MN/AM = MD/MB.2) Рассмотрим треугольники MPB и MAD. У них углы при M равны, а ∠MPB = ∠MAD, так как PB ∥ AD. Значит, △MPB ∼ △MAD, поэтому
MP/AM = MB/MD.3) Перемножим равенства:
MN/AM · MP/AM = MD/MB · MB/MD = 1.
Следовательно,
MN · MP = AM²,
то есть AM является средним пропорциональным между MN и MP.Ответ: AM² = MN · MP.
Кратко △MND ∼ △MAB, поэтому MN/AM = MD/MB.
△MPB ∼ △MAD, поэтому MP/AM = MB/MD.
Перемножая равенства, получаем:
MN · MP/AM² = 1,
откуда AM² = MN · MP.Ответ: AM — среднее пропорциональное между MN и MP.
MN/AM = MD/MB.2) Рассмотрим треугольники MPB и MAD. У них углы при M равны, а ∠MPB = ∠MAD, так как PB ∥ AD. Значит, △MPB ∼ △MAD, поэтому
MP/AM = MB/MD.3) Перемножим равенства:
MN/AM · MP/AM = MD/MB · MB/MD = 1.
Следовательно,
MN · MP = AM²,
то есть AM является средним пропорциональным между MN и MP.Ответ: AM² = MN · MP.
Кратко △MND ∼ △MAB, поэтому MN/AM = MD/MB.
△MPB ∼ △MAD, поэтому MP/AM = MB/MD.
Перемножая равенства, получаем:
MN · MP/AM² = 1,
откуда AM² = MN · MP.Ответ: AM — среднее пропорциональное между MN и MP.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать постоянство величины AB²/ADС пояснением
1) Проведём диаметр AC и касательную BD. Так как AC — диаметр, то ∠ABC = 90°. Кроме того, AD ⟂ BD, поэтому ∠ADB = 90°.
2) Угол между касательной BD и хордой BA равен вписанному углу BCA, опирающемуся на хорду AB. Значит, ∠ABD = ∠BCA.
3) Следовательно, треугольники ABD и ACB подобны по двум углам. Поэтому
AB/AC = AD/AB.
Отсюда AB² = AC · AD, то есть
AB²/AD = AC = 2R.
Диаметр AC данной окружности постоянен, поэтому и величина AB²/AD одинакова для всех её хорд.
Ответ: AB²/AD = 2R, то есть диаметру окружности.
Кратко Проведём диаметр AC. Треугольники ABD и ACB подобны: ∠ADB = ∠ABC = 90°, а ∠ABD = ∠BCA по теореме об угле между касательной и хордой.
Тогда AB/AC = AD/AB, откуда AB²/AD = AC = 2R.
Ответ: величина равна диаметру окружности 2R.
2) Угол между касательной BD и хордой BA равен вписанному углу BCA, опирающемуся на хорду AB. Значит, ∠ABD = ∠BCA.
3) Следовательно, треугольники ABD и ACB подобны по двум углам. Поэтому
AB/AC = AD/AB.
Отсюда AB² = AC · AD, то есть
AB²/AD = AC = 2R.
Диаметр AC данной окружности постоянен, поэтому и величина AB²/AD одинакова для всех её хорд.
Ответ: AB²/AD = 2R, то есть диаметру окружности.
Кратко Проведём диаметр AC. Треугольники ABD и ACB подобны: ∠ADB = ∠ABC = 90°, а ∠ABD = ∠BCA по теореме об угле между касательной и хордой.
Тогда AB/AC = AD/AB, откуда AB²/AD = AC = 2R.
Ответ: величина равна диаметру окружности 2R.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величина AB2/AD, где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение.
