Упр.890 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите теорему МенелаяС пояснением
1) Опустим из вершин A, B и C перпендикуляры AH₁, BH₂ и CH₃ на прямую m.2) Прямоугольные треугольники AH₁C₁ и BH₂C₁ подобны по двум углам. Поэтому
AC₁/C₁B = AH₁/BH₂.3) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников с вершиной A₁ получаем:
BA₁/A₁C = BH₂/CH₃.4) Из подобия прямоугольных треугольников с вершиной B₁ получаем:
CB₁/B₁A = CH₃/AH₁.5) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = (AH₁/BH₂)·(BH₂/CH₃)·(CH₃/AH₁) = 1.Ответ: равенство доказано.
Кратко Опустим из A, B и C перпендикуляры AH₁, BH₂ и CH₃ на m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AH₁/BH₂,
BA₁/A₁C = BH₂/CH₃,
CB₁/B₁A = CH₃/AH₁.Тогда
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)
= (AH₁/BH₂)·(BH₂/CH₃)·(CH₃/AH₁) = 1.Ответ: равенство доказано.
AC₁/C₁B = AH₁/BH₂.3) Аналогично из подобия прямоугольных треугольников с вершиной A₁ получаем:
BA₁/A₁C = BH₂/CH₃.4) Из подобия прямоугольных треугольников с вершиной B₁ получаем:
CB₁/B₁A = CH₃/AH₁.5) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = (AH₁/BH₂)·(BH₂/CH₃)·(CH₃/AH₁) = 1.Ответ: равенство доказано.
Кратко Опустим из A, B и C перпендикуляры AH₁, BH₂ и CH₃ на m. Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников:
AC₁/C₁B = AH₁/BH₂,
BA₁/A₁C = BH₂/CH₃,
CB₁/B₁A = CH₃/AH₁.Тогда
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A)
= (AH₁/BH₂)·(BH₂/CH₃)·(CH₃/AH₁) = 1.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойство сторон вписанного четырёхугольникаС пояснением
Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, его диагонали AC и BD пересекаются в точке X под прямым углом, O — центр окружности.1) Так как ∠AXB = 90°, сумма дуг AB и CD равна 180°: градусная мера угла между пересекающимися хордами равна половине суммы соответствующих дуг.2) Проведём диаметр AE. Тогда дуга AE равна 180°. Поэтому дуги BE и CD равны, а значит, равны и их хорды: BE = CD.3) Угол ABE опирается на диаметр AE, поэтому ∠ABE = 90°. По теореме Пифагора для треугольника ABE:
AB² + BE² = AE².
Так как BE = CD, получаем:
AB² + CD² = AE².4) Аналогично сумма дуг BC и AD равна 180°. Проведя диаметр BF, получим CF = AD. Из прямоугольного треугольника BCF:
BC² + AD² = BF².Диаметры AE и BF равны диаметру d описанной окружности. Следовательно,
AB² + CD² = BC² + AD² = d².Ответ: сумма квадратов каждой пары противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Кратко Пусть диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом. Тогда сумма дуг AB и CD равна 180°.Проведём диаметр AE. Дуги BE и CD равны, поэтому BE = CD. Треугольник ABE прямоугольный, значит,
AB² + CD² = AB² + BE² = AE² = d².Аналогично:
BC² + AD² = d².Ответ: AB² + CD² = BC² + AD² = d², где d — диаметр окружности.
AB² + BE² = AE².
Так как BE = CD, получаем:
AB² + CD² = AE².4) Аналогично сумма дуг BC и AD равна 180°. Проведя диаметр BF, получим CF = AD. Из прямоугольного треугольника BCF:
BC² + AD² = BF².Диаметры AE и BF равны диаметру d описанной окружности. Следовательно,
AB² + CD² = BC² + AD² = d².Ответ: сумма квадратов каждой пары противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
Кратко Пусть диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом. Тогда сумма дуг AB и CD равна 180°.Проведём диаметр AE. Дуги BE и CD равны, поэтому BE = CD. Треугольник ABE прямоугольный, значит,
AB² + CD² = AB² + BE² = AE² = d².Аналогично:
BC² + AD² = d².Ответ: AB² + CD² = BC² + AD² = d², где d — диаметр окружности.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Прямая m, не проходящая через вершины треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС, а также продолжение стороны АС соответственно в точках C_1, A_1 и B_1. Докажите, что верно равенство: AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1 (теорема Менелая).
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
