Упр.886 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник по углам и сумме AC + BHС пояснением
1) Построим произвольный отрезок A₁C₁. При его концах отложим данные углы A и C. Точка пересечения их сторон — B₁. Получим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁.
2) Опустим высоту B₁H₁ на прямую A₁C₁.
3) На одном луче последовательно отложим отрезки, равные A₁C₁ и B₁H₁. Полученный общий отрезок обозначим l: l = A₁C₁ + B₁H₁.
4) По данному отрезку s = AC + BH, отрезкам l и A₁C₁ построим четвёртый пропорциональный отрезок x так, чтобы x : A₁C₁ = s : l.
5) Построим AC = x. При A и C отложим данные углы. Пересечение их сторон обозначим B. Опустим BH ⟂ AC.
6) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам, поэтому AC : A₁C₁ = BH : B₁H₁. Следовательно,
(AC + BH) : (A₁C₁ + B₁H₁) = AC : A₁C₁ = s : l.
Так как A₁C₁ + B₁H₁ = l, получаем AC + BH = s.
Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Постройте произвольный треугольник A₁B₁C₁ с данными углами A и C и проведите высоту B₁H₁.
2) Сложите отрезки: l = A₁C₁ + B₁H₁.
3) Для данного отрезка s постройте отрезок AC из пропорции AC : A₁C₁ = s : l.
4) На AC постройте треугольник ABC с данными углами A и C.
Ответ: искомый треугольник ABC построен.
2) Опустим высоту B₁H₁ на прямую A₁C₁.
3) На одном луче последовательно отложим отрезки, равные A₁C₁ и B₁H₁. Полученный общий отрезок обозначим l: l = A₁C₁ + B₁H₁.
4) По данному отрезку s = AC + BH, отрезкам l и A₁C₁ построим четвёртый пропорциональный отрезок x так, чтобы x : A₁C₁ = s : l.
5) Построим AC = x. При A и C отложим данные углы. Пересечение их сторон обозначим B. Опустим BH ⟂ AC.
6) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам, поэтому AC : A₁C₁ = BH : B₁H₁. Следовательно,
(AC + BH) : (A₁C₁ + B₁H₁) = AC : A₁C₁ = s : l.
Так как A₁C₁ + B₁H₁ = l, получаем AC + BH = s.
Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Постройте произвольный треугольник A₁B₁C₁ с данными углами A и C и проведите высоту B₁H₁.
2) Сложите отрезки: l = A₁C₁ + B₁H₁.
3) Для данного отрезка s постройте отрезок AC из пропорции AC : A₁C₁ = s : l.
4) На AC постройте треугольник ABC с данными углами A и C.
Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что отражения ортоцентра лежат на описанной окружностиС пояснением
1) Рассмотрим точку A′. При симметрии относительно прямой BC точка H переходит в A′, а точки B и C остаются на месте. Поэтому ∠BA′C = ∠BHC.2) Так как BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, то угол между прямыми BH и CH дополняет угол BAC до 180°:
∠BHC = 180° − ∠BAC.
Следовательно,
∠BA′C + ∠BAC = 180°.
Значит, четырёхугольник ABA′C вписанный, поэтому A′ лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.3) Аналогично для точек B′ и C′:
∠CB′A + ∠CBA = 180°, поэтому B′ лежит на этой окружности;
∠AC′B + ∠ACB = 180°, поэтому C′ также лежит на этой окружности.Ответ: точки A′, B′ и C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Кратко При отражении относительно BC точки B и C остаются на месте, поэтому ∠BA′C = ∠BHC. Поскольку BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, имеем ∠BHC = 180° − ∠BAC. Значит,
∠BA′C + ∠BAC = 180°,
следовательно, точки A, B, A′, C лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежат B′ и C′.Ответ: A′, B′, C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
∠BHC = 180° − ∠BAC.
Следовательно,
∠BA′C + ∠BAC = 180°.
Значит, четырёхугольник ABA′C вписанный, поэтому A′ лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.3) Аналогично для точек B′ и C′:
∠CB′A + ∠CBA = 180°, поэтому B′ лежит на этой окружности;
∠AC′B + ∠ACB = 180°, поэтому C′ также лежит на этой окружности.Ответ: точки A′, B′ и C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Кратко При отражении относительно BC точки B и C остаются на месте, поэтому ∠BA′C = ∠BHC. Поскольку BH ⟂ AC и CH ⟂ AB, имеем ∠BHC = 180° − ∠BAC. Значит,
∠BA′C + ∠BAC = 180°,
следовательно, точки A, B, A′, C лежат на одной окружности. Аналогично доказывается, что на этой же окружности лежат B′ и C′.Ответ: A′, B′, C′ лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте треугольник ABC, если даны уголA, уголC и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.
Задание учебника 2023 года
Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, а А', В', С' — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А', В', С' лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.
