Упр.888 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить трапецию по четырём заданным элементамС пояснением
Пусть требуется построить трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, ∠BAD — данный угол, а BC : CD = m : n.1) Построим отрезок AD, равный данному большему основанию.
2) В точке A построим данный угол BAD и на его стороне отложим данную боковую сторону AB.
3) Через B проведём прямую l, параллельную AD. На ней должна лежать вершина C.
4) Построим геометрическое место точек X, для которых XB : XD = m : n. Если m ≠ n, для этого разделим BD внутри и вне в отношении m : n, получив точки E и F, и построим окружность с диаметром EF — окружность Аполлония.
5) Точка C находится в пересечении прямой l с построенной окружностью. Выберем те точки пересечения, при которых получается выпуклая трапеция и BC < AD.
6) Соединим C и D. Тогда BC ∥ AD, поэтому ABCD — трапеция, а по построению BC : CD = m : n.Если m = n, вместо окружности строим серединный перпендикуляр к BD: его точки равноудалены от B и D.Ответ: искомая трапеция ABCD построена; все подходящие точки пересечения дают возможные решения.
Кратко Обозначим искомую трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, BC : CD = m : n.1) Построить данные AD, ∠BAD и AB.
2) Через B провести прямую, параллельную AD.
3) Построить окружность Аполлония для точек B и D с отношением расстояний m : n.
4) Её подходящее пересечение с параллельной прямой обозначить C и провести CD.При m = n вместо окружности используется серединный перпендикуляр к BD.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
2) В точке A построим данный угол BAD и на его стороне отложим данную боковую сторону AB.
3) Через B проведём прямую l, параллельную AD. На ней должна лежать вершина C.
4) Построим геометрическое место точек X, для которых XB : XD = m : n. Если m ≠ n, для этого разделим BD внутри и вне в отношении m : n, получив точки E и F, и построим окружность с диаметром EF — окружность Аполлония.
5) Точка C находится в пересечении прямой l с построенной окружностью. Выберем те точки пересечения, при которых получается выпуклая трапеция и BC < AD.
6) Соединим C и D. Тогда BC ∥ AD, поэтому ABCD — трапеция, а по построению BC : CD = m : n.Если m = n, вместо окружности строим серединный перпендикуляр к BD: его точки равноудалены от B и D.Ответ: искомая трапеция ABCD построена; все подходящие точки пересечения дают возможные решения.
Кратко Обозначим искомую трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, BC : CD = m : n.1) Построить данные AD, ∠BAD и AB.
2) Через B провести прямую, параллельную AD.
3) Построить окружность Аполлония для точек B и D с отношением расстояний m : n.
4) Её подходящее пересечение с параллельной прямой обозначить C и провести CD.При m = n вместо окружности используется серединный перпендикуляр к BD.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что BE — биссектриса угла OBHС пояснением
Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C.1) Так как BE — биссектриса угла ABC, то
∠ABE = 1/2∠ABC = 90° − (A + C)/2.2) Радиус OB перпендикулярен касательной к окружности в точке B. По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной и BE равен ∠BAE.
В треугольнике ABE:
∠BAE = 180° − ∠ABE − ∠AEB.
Так как ∠AEB = ∠ACB = C, получаем
∠BAE = 90° + (A − C)/2.
Следовательно,
∠OBE = |∠BAE − 90°| = |A − C|/2.3) Поскольку BH — высота, BH ⟂ AC. Поэтому угол между BA и BH равен |90° − A|. Учитывая значение ∠ABE, получаем
∠EBH = |90° − A − ∠ABE| = |C − A|/2.Итак, ∠OBE = ∠EBH. Луч BE расположен между лучами BO и BH, значит, он делит угол OBH пополам.Ответ: луч BE является биссектрисой угла OBH.
Кратко Пусть ∠BAC = A, ∠BCA = C. Так как BE — биссектриса угла B, то
∠ABE = 90° − (A + C)/2.Используя перпендикулярность радиуса касательной и теорему об угле между касательной и хордой, получаем
∠OBE = |A − C|/2.Так как BH ⟂ AC, то
∠EBH = |C − A|/2.Следовательно, ∠OBE = ∠EBH, поэтому BE — биссектриса угла OBH.Ответ: BE — биссектриса угла OBH.
∠ABE = 1/2∠ABC = 90° − (A + C)/2.2) Радиус OB перпендикулярен касательной к окружности в точке B. По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной и BE равен ∠BAE.
В треугольнике ABE:
∠BAE = 180° − ∠ABE − ∠AEB.
Так как ∠AEB = ∠ACB = C, получаем
∠BAE = 90° + (A − C)/2.
Следовательно,
∠OBE = |∠BAE − 90°| = |A − C|/2.3) Поскольку BH — высота, BH ⟂ AC. Поэтому угол между BA и BH равен |90° − A|. Учитывая значение ∠ABE, получаем
∠EBH = |90° − A − ∠ABE| = |C − A|/2.Итак, ∠OBE = ∠EBH. Луч BE расположен между лучами BO и BH, значит, он делит угол OBH пополам.Ответ: луч BE является биссектрисой угла OBH.
Кратко Пусть ∠BAC = A, ∠BCA = C. Так как BE — биссектриса угла B, то
∠ABE = 90° − (A + C)/2.Используя перпендикулярность радиуса касательной и теорему об угле между касательной и хордой, получаем
∠OBE = |A − C|/2.Так как BH ⟂ AC, то
∠EBH = |C − A|/2.Следовательно, ∠OBE = ∠EBH, поэтому BE — биссектриса угла OBH.Ответ: BE — биссектриса угла OBH.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Задание учебника 2023 года
Из вершины В треугольника ABC проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН
