Упр.893 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему ЧевыС пояснением
Обозначим точку пересечения прямых AA₁, BB₁ и CC₁ через O, а площадь треугольника XYZ — через SXYZ.1) Треугольники AOC₁ и BOC₁ имеют общую высоту, проведённую из O к прямой AB, поэтому
AC₁/C₁B = SAOC₁/SBOC₁.
Так как точки C, O и C₁ лежат на одной прямой, то
SAOC₁/SBOC₁ = SAOC/SBOC.
Следовательно,
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC.2) Аналогично получаем:
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.3) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1,
так как одинаковые площади в числителях и знаменателях сокращаются.Если точки лежат на продолжениях сторон, рассуждение остаётся верным для направленных отрезков и площадей со знаками.Ответ: (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1.
Кратко Пусть O — общая точка прямых AA₁, BB₁ и CC₁. По отношению площадей треугольников с общей высотой:
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC,
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.Перемножая равенства, получаем:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1.
Для точек на продолжениях сторон используются направленные отрезки.Ответ: равенство доказано.
AC₁/C₁B = SAOC₁/SBOC₁.
Так как точки C, O и C₁ лежат на одной прямой, то
SAOC₁/SBOC₁ = SAOC/SBOC.
Следовательно,
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC.2) Аналогично получаем:
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.3) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1,
так как одинаковые площади в числителях и знаменателях сокращаются.Если точки лежат на продолжениях сторон, рассуждение остаётся верным для направленных отрезков и площадей со знаками.Ответ: (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1.
Кратко Пусть O — общая точка прямых AA₁, BB₁ и CC₁. По отношению площадей треугольников с общей высотой:
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC,
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.Перемножая равенства, получаем:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1.
Для точек на продолжениях сторон используются направленные отрезки.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать теорему ПтолемеяС пояснением
Пусть ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность.1) На диагонали AC отметим точку E так, чтобы ∠ABE = ∠DBC.2) Рассмотрим треугольники ABE и DBC. По построению ∠ABE = ∠DBC, а ∠BAE = ∠BDC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC. Значит, △ABE ∼ △DBC. Поэтому
AE/DC = AB/BD,
откуда BD · AE = AB · CD.3) Рассмотрим треугольники ABD и EBC. Так как ∠ABE = ∠DBC, то ∠ABD = ∠EBC. Кроме того, ∠ADB = ∠ACB = ∠ECB как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. Следовательно, △ABD ∼ △EBC. Поэтому
EC/AD = BC/BD,
откуда BD · EC = AD · BC.4) Сложим полученные равенства:
BD · AE + BD · EC = AB · CD + AD · BC,
BD · (AE + EC) = AB · CD + AD · BC.
Так как AE + EC = AC, получаем
AC · BD = AB · CD + AD · BC.Ответ: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
Кратко Пусть ABCD вписан в окружность. На AC выберем точку E так, чтобы ∠ABE = ∠DBC.Из подобия △ABE и △DBC:
BD · AE = AB · CD.Из подобия △ABD и △EBC:
BD · EC = AD · BC.Складывая равенства, получаем:
BD · (AE + EC) = AB · CD + AD · BC.
Так как AE + EC = AC, то
AC · BD = AB · CD + AD · BC.Ответ: AC · BD = AB · CD + AD · BC.
AE/DC = AB/BD,
откуда BD · AE = AB · CD.3) Рассмотрим треугольники ABD и EBC. Так как ∠ABE = ∠DBC, то ∠ABD = ∠EBC. Кроме того, ∠ADB = ∠ACB = ∠ECB как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. Следовательно, △ABD ∼ △EBC. Поэтому
EC/AD = BC/BD,
откуда BD · EC = AD · BC.4) Сложим полученные равенства:
BD · AE + BD · EC = AB · CD + AD · BC,
BD · (AE + EC) = AB · CD + AD · BC.
Так как AE + EC = AC, получаем
AC · BD = AB · CD + AD · BC.Ответ: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
Кратко Пусть ABCD вписан в окружность. На AC выберем точку E так, чтобы ∠ABE = ∠DBC.Из подобия △ABE и △DBC:
BD · AE = AB · CD.Из подобия △ABD и △EBC:
BD · EC = AD · BC.Складывая равенства, получаем:
BD · (AE + EC) = AB · CD + AD · BC.
Так как AE + EC = AC, то
AC · BD = AB · CD + AD · BC.Ответ: AC · BD = AB · CD + AD · BC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Пусть точки C_1, A_1 и B_1 лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите, что если прямые AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке, то верно равенство: AC_1/C_1B·BA_1/A_1C·CB_1/B_1A=1 (теорема Чевы).
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
