Упр.885 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник по сторонам и биссектрисеС пояснением
Пусть даны стороны b и c и длина биссектрисы l угла между ними.1) Постройте отрезок x, являющийся средним пропорциональным между b и c: x² = bc.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l. Его второй катет обозначьте y. Тогда y² = bc − l².
3) С помощью подобных треугольников постройте отрезок a из пропорции x : y = (b + c) : a, то есть a = (b + c)y/x.
4) Постройте треугольник ABC по трём сторонам: AB = c, AC = b, BC = a. Для этого проведите BC = a, затем окружности с центрами B и C радиусов c и b. Точку их пересечения обозначьте A.
5) Проведите биссектрису AD угла BAC.Проверка: для биссектрисы угла между сторонами b и c выполняется
l² = bc(1 − a²/(b + c)²).
По построению a/(b + c) = y/x, поэтому
bc(1 − a²/(b + c)²) = x²(1 − y²/x²) = x² − y² = l².
Следовательно, AD = l, а построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.Ответ: треугольник ABC построен по сторонам b, c и биссектрисе l.
Кратко Пусть данные стороны равны b и c, а биссектриса — l.
1) Постройте x = √(bc) как среднее пропорциональное между b и c.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l; второй катет равен y = √(bc − l²).
3) По пропорции x : y = (b + c) : a постройте третью сторону a.
4) По трём сторонам AB = c, AC = b, BC = a постройте треугольник ABC.Ответ: полученный треугольник имеет заданные стороны b, c и биссектрису l угла между ними.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l. Его второй катет обозначьте y. Тогда y² = bc − l².
3) С помощью подобных треугольников постройте отрезок a из пропорции x : y = (b + c) : a, то есть a = (b + c)y/x.
4) Постройте треугольник ABC по трём сторонам: AB = c, AC = b, BC = a. Для этого проведите BC = a, затем окружности с центрами B и C радиусов c и b. Точку их пересечения обозначьте A.
5) Проведите биссектрису AD угла BAC.Проверка: для биссектрисы угла между сторонами b и c выполняется
l² = bc(1 − a²/(b + c)²).
По построению a/(b + c) = y/x, поэтому
bc(1 − a²/(b + c)²) = x²(1 − y²/x²) = x² − y² = l².
Следовательно, AD = l, а построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.Ответ: треугольник ABC построен по сторонам b, c и биссектрисе l.
Кратко Пусть данные стороны равны b и c, а биссектриса — l.
1) Постройте x = √(bc) как среднее пропорциональное между b и c.
2) Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой x и катетом l; второй катет равен y = √(bc − l²).
3) По пропорции x : y = (b + c) : a постройте третью сторону a.
4) По трём сторонам AB = c, AC = b, BC = a постройте треугольник ABC.Ответ: полученный треугольник имеет заданные стороны b, c и биссектрису l угла между ними.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать принадлежность новых вершин биссектрисамС пояснением
Обозначим через O точку пересечения биссектрис треугольника ABC, а через A₁ — точку пересечения прямых, проведённых через B и C.1) По условию BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO. Поэтому
∠OBA₁ = ∠OCA₁ = 90°.
Следовательно, точки O, B, A₁, C лежат на одной окружности с диаметром OA₁.2) В этой окружности углы BOA₁ и BCA₁ опираются на одну хорду BA₁, поэтому
∠BOA₁ = ∠BCA₁.
Так как CA₁ ⟂ CO, а CO — биссектриса угла C, то
∠BCA₁ = 90° − C/2.
Значит,
∠BOA₁ = 90° − C/2.3) В треугольнике AOB:
∠BAO = A/2, ∠ABO = B/2,
поэтому
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Тогда
∠BOA₁ + ∠BOA = 180°.
Следовательно, точки A, O и A₁ лежат на одной прямой, то есть A₁ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A.4) Аналогично доказывается, что две другие вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов B и C.Ответ: вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Кратко Пусть O — точка пересечения биссектрис, а A₁ — пересечение прямых, проведённых через B и C. Так как BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO, точки O, B, A₁, C лежат на окружности с диаметром OA₁.Отсюда ∠BOA₁ = ∠BCA₁ = 90° − C/2. При этом в треугольнике AOB
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Значит, ∠BOA₁ + ∠BOA = 180°, поэтому A, O и A₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается утверждение для двух других вершин.Ответ: все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
∠OBA₁ = ∠OCA₁ = 90°.
Следовательно, точки O, B, A₁, C лежат на одной окружности с диаметром OA₁.2) В этой окружности углы BOA₁ и BCA₁ опираются на одну хорду BA₁, поэтому
∠BOA₁ = ∠BCA₁.
Так как CA₁ ⟂ CO, а CO — биссектриса угла C, то
∠BCA₁ = 90° − C/2.
Значит,
∠BOA₁ = 90° − C/2.3) В треугольнике AOB:
∠BAO = A/2, ∠ABO = B/2,
поэтому
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Тогда
∠BOA₁ + ∠BOA = 180°.
Следовательно, точки A, O и A₁ лежат на одной прямой, то есть A₁ лежит на прямой, содержащей биссектрису угла A.4) Аналогично доказывается, что две другие вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы углов B и C.Ответ: вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Кратко Пусть O — точка пересечения биссектрис, а A₁ — пересечение прямых, проведённых через B и C. Так как BA₁ ⟂ BO и CA₁ ⟂ CO, точки O, B, A₁, C лежат на окружности с диаметром OA₁.Отсюда ∠BOA₁ = ∠BCA₁ = 90° − C/2. При этом в треугольнике AOB
∠BOA = 180° − A/2 − B/2 = 90° + C/2.
Значит, ∠BOA₁ + ∠BOA = 180°, поэтому A, O и A₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается утверждение для двух других вершин.Ответ: все вершины нового треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
Задание учебника 2023 года
Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника ABC.
