Упр.867 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что BM ⟂ AHС пояснением
1) Введём координаты с началом в точке H: ось Ox направим вдоль BC, ось Oy — вдоль HD. Обозначим BH = x, HC = y, DH = h. Тогда B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h).2) Так как D — середина AC, точка A симметрична точке C относительно D, поэтому A(−y; 2h).3) По условию AB = BC. По теореме Пифагора:
AB² = (x − y)² + 4h²,
BC² = (x + y)².
Следовательно,
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
откуда h² = xy.4) Так как M — середина DH, то M(0; h/2). Угловые коэффициенты прямых BM и AH равны:
kBM = h/(2x),
kAH = −2h/y.
Их произведение:
kBM · kAH = −h²/(xy) = −1.
Значит, прямые BM и AH перпендикулярны.Ответ: BM ⟂ AH.
Кратко Пусть BH = x, HC = y, DH = h. Введём координаты: H(0; 0), B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h). Так как D — середина AC, то A(−y; 2h).Из AB = BC по теореме Пифагора:
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
поэтому h² = xy.Точка M(0; h/2), значит
kBM = h/(2x), kAH = −2h/y.
Тогда kBM · kAH = −h²/(xy) = −1, следовательно, BM ⟂ AH.Ответ: BM ⟂ AH.
AB² = (x − y)² + 4h²,
BC² = (x + y)².
Следовательно,
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
откуда h² = xy.4) Так как M — середина DH, то M(0; h/2). Угловые коэффициенты прямых BM и AH равны:
kBM = h/(2x),
kAH = −2h/y.
Их произведение:
kBM · kAH = −h²/(xy) = −1.
Значит, прямые BM и AH перпендикулярны.Ответ: BM ⟂ AH.
Кратко Пусть BH = x, HC = y, DH = h. Введём координаты: H(0; 0), B(−x; 0), C(y; 0), D(0; h). Так как D — середина AC, то A(−y; 2h).Из AB = BC по теореме Пифагора:
(x − y)² + 4h² = (x + y)²,
поэтому h² = xy.Точка M(0; h/2), значит
kBM = h/(2x), kAH = −2h/y.
Тогда kBM · kAH = −h²/(xy) = −1, следовательно, BM ⟂ AH.Ответ: BM ⟂ AH.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти отношение площадей △ABK и △ABCС пояснением
Обозначим точку пересечения прямой AK с медианой BM через D. Через M проведём MN ∥ AK, где N лежит на BC.1) BD : DM = 1 : 2, поэтому BD : BM = 1 : 3. Из подобия треугольников BDK и BMN получаем BK : BN = 1 : 3, то есть BN = 3BK.2) В треугольнике ACK точка M — середина AC, а MN ∥ AK. Поэтому N — середина CK и KN = NC.3) Пусть BK = x, KN = NC = y. Тогда BN = x + y. Из BN = 3BK получаем x + y = 3x, значит y = 2x.4) BC = BK + KN + NC = x + 2x + 2x = 5x. Следовательно, BK : BC = 1 : 5.5) У треугольников ABK и ABC общая высота, проведённая из A к прямой BC, поэтому их площади относятся как основания BK и BC.Ответ: S△ABK : S△ABC = 1 : 5.
Кратко Пусть D — точка пересечения AK и BM. Проведём MN ∥ AK, N ∈ BC.1) Из подобия △BDK и △BMN: BK : BN = BD : BM = 1 : 3.
2) Так как M — середина AC и MN ∥ AK, то N — середина CK.
3) Отсюда BC = 5BK, значит S△ABK : S△ABC = BK : BC = 1 : 5.Ответ: 1 : 5.
Кратко Пусть D — точка пересечения AK и BM. Проведём MN ∥ AK, N ∈ BC.1) Из подобия △BDK и △BMN: BK : BN = BD : BM = 1 : 3.
2) Так как M — середина AC и MN ∥ AK, то N — середина CK.
3) Отсюда BC = 5BK, значит S△ABK : S△ABC = BK : BC = 1 : 5.Ответ: 1 : 5.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ перпендикулярен АН.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и ABC.
