Упр.864 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти расстояние от центра квадрата до прямого углаС пояснением
Обозначим катеты треугольника через b и c, тогда b + c = a. Поместим вершину прямого угла в начало координат, а катеты направим вдоль осей. Тогда концы гипотенузы имеют координаты (b; 0) и (0; c).1) При построении квадрата с внешней стороны гипотенузы его центр имеет координаты ((b + c)/2; (b + c)/2), то есть (a/2; a/2).
2) По теореме Пифагора расстояние от начала координат до центра квадрата равно:
√((a/2)² + (a/2)²) = √(a²/2) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Кратко Пусть вершина прямого угла имеет координаты (0; 0). Центр внешнего квадрата имеет координаты (a/2; a/2).По теореме Пифагора:
√((a/2)² + (a/2)²) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
2) По теореме Пифагора расстояние от начала координат до центра квадрата равно:
√((a/2)² + (a/2)²) = √(a²/2) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Кратко Пусть вершина прямого угла имеет координаты (0; 0). Центр внешнего квадрата имеет координаты (a/2; a/2).По теореме Пифагора:
√((a/2)² + (a/2)²) = a√2/2.Ответ: a√2/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что треугольник прямоугольныйС пояснением
1) Введём координаты: B(0; 0), C(1; 0), A(p; q), где q ≠ 0. Обозначим основания высот из A, B, C соответственно через D, E, F, а середины высот AD, BE, CF — через M, N, P.2) Так как AD ⟂ BC, то D(p; 0), поэтому M(p; q/2).Пользуясь условием перпендикулярности прямых, находим координаты E и F. После подстановки координат M, N, P в условие их коллинеарности и упрощения получаем:
2pq·p(1 − p)·(p² − p + q²) = 0,
где знаменатели отброшены, так как они положительны. Поскольку q ≠ 0, то
p(1 − p)(p² − p + q²) = 0.3) Рассмотрим три случая:
если p = 0, то AB ⟂ BC и ∠B = 90°;
если p = 1, то AC ⟂ BC и ∠C = 90°;
если p² − p + q² = 0, то
(p; q)·(p − 1; q) = 0,
то есть AB ⟂ AC и ∠A = 90°.Во всех случаях один из углов треугольника прямой.Ответ: треугольник прямоугольный.
Кратко Пусть B(0; 0), C(1; 0), A(p; q), q ≠ 0. Обозначим середины высот через M, N, P. Вычисление их координат и условие коллинеарности дают
p(1 − p)(p² − p + q²) = 0.Если p = 0, то ∠B = 90°; если p = 1, то ∠C = 90°; если p² − p + q² = 0, то AB ⟂ AC и ∠A = 90°.Ответ: треугольник прямоугольный.
2pq·p(1 − p)·(p² − p + q²) = 0,
где знаменатели отброшены, так как они положительны. Поскольку q ≠ 0, то
p(1 − p)(p² − p + q²) = 0.3) Рассмотрим три случая:
если p = 0, то AB ⟂ BC и ∠B = 90°;
если p = 1, то AC ⟂ BC и ∠C = 90°;
если p² − p + q² = 0, то
(p; q)·(p − 1; q) = 0,
то есть AB ⟂ AC и ∠A = 90°.Во всех случаях один из углов треугольника прямой.Ответ: треугольник прямоугольный.
Кратко Пусть B(0; 0), C(1; 0), A(p; q), q ≠ 0. Обозначим середины высот через M, N, P. Вычисление их координат и условие коллинеарности дают
p(1 − p)(p² − p + q²) = 0.Если p = 0, то ∠B = 90°; если p = 1, то ∠C = 90°; если p² − p + q² = 0, то AB ⟂ AC и ∠A = 90°.Ответ: треугольник прямоугольный.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.
Задание учебника 2023 года
Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
