Упр.873 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольник — трапеция или параллелограммС пояснением
Пусть M и N — середины противоположных сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD, а P — середина диагонали AC.1) В треугольнике ABC отрезок MP — средняя линия, поэтому MP ∥ BC и MP = BC : 2.2) В треугольнике ACD отрезок PN — средняя линия, поэтому PN ∥ AD и PN = AD : 2.3) По условию
MN = (BC + AD) : 2 = MP + PN.
Но в треугольнике MPN должно выполняться MN ≤ MP + PN. Равенство возможно только тогда, когда точки M, P и N лежат на одной прямой, причём P находится между M и N.4) Следовательно, MP и PN лежат на одной прямой. Так как MP ∥ BC, а PN ∥ AD, то BC ∥ AD.Значит, у четырёхугольника ABCD есть пара параллельных противоположных сторон. Если AB и CD не параллельны, это трапеция; если AB ∥ CD, это параллелограмм.Ответ: четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.
Кратко Пусть M и N — середины AB и CD, а P — середина диагонали AC. Тогда по свойству средней линии треугольника:
MP = BC/2, MP ∥ BC;
PN = AD/2, PN ∥ AD.По условию MN = (BC + AD)/2 = MP + PN. Поэтому точки M, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, BC ∥ AD. Значит, ABCD — трапеция, а если также AB ∥ CD, то параллелограмм.Ответ: трапеция или параллелограмм.
MN = (BC + AD) : 2 = MP + PN.
Но в треугольнике MPN должно выполняться MN ≤ MP + PN. Равенство возможно только тогда, когда точки M, P и N лежат на одной прямой, причём P находится между M и N.4) Следовательно, MP и PN лежат на одной прямой. Так как MP ∥ BC, а PN ∥ AD, то BC ∥ AD.Значит, у четырёхугольника ABCD есть пара параллельных противоположных сторон. Если AB и CD не параллельны, это трапеция; если AB ∥ CD, это параллелограмм.Ответ: четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.
Кратко Пусть M и N — середины AB и CD, а P — середина диагонали AC. Тогда по свойству средней линии треугольника:
MP = BC/2, MP ∥ BC;
PN = AD/2, PN ∥ AD.По условию MN = (BC + AD)/2 = MP + PN. Поэтому точки M, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, BC ∥ AD. Значит, ABCD — трапеция, а если также AB ∥ CD, то параллелограмм.Ответ: трапеция или параллелограмм.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по углам и сумме AC + BHС пояснением
1) Построим произвольный отрезок A₁C₁. При его концах отложим данные углы A и C. Точка пересечения их сторон — B₁. Получим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁.
2) Опустим высоту B₁H₁ на прямую A₁C₁.
3) На одном луче последовательно отложим отрезки, равные A₁C₁ и B₁H₁. Полученный общий отрезок обозначим l: l = A₁C₁ + B₁H₁.
4) По данному отрезку s = AC + BH, отрезкам l и A₁C₁ построим четвёртый пропорциональный отрезок x так, чтобы x : A₁C₁ = s : l.
5) Построим AC = x. При A и C отложим данные углы. Пересечение их сторон обозначим B. Опустим BH ⟂ AC.
6) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам, поэтому AC : A₁C₁ = BH : B₁H₁. Следовательно,
(AC + BH) : (A₁C₁ + B₁H₁) = AC : A₁C₁ = s : l.
Так как A₁C₁ + B₁H₁ = l, получаем AC + BH = s.
Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Постройте произвольный треугольник A₁B₁C₁ с данными углами A и C и проведите высоту B₁H₁.
2) Сложите отрезки: l = A₁C₁ + B₁H₁.
3) Для данного отрезка s постройте отрезок AC из пропорции AC : A₁C₁ = s : l.
4) На AC постройте треугольник ABC с данными углами A и C.
Ответ: искомый треугольник ABC построен.
2) Опустим высоту B₁H₁ на прямую A₁C₁.
3) На одном луче последовательно отложим отрезки, равные A₁C₁ и B₁H₁. Полученный общий отрезок обозначим l: l = A₁C₁ + B₁H₁.
4) По данному отрезку s = AC + BH, отрезкам l и A₁C₁ построим четвёртый пропорциональный отрезок x так, чтобы x : A₁C₁ = s : l.
5) Построим AC = x. При A и C отложим данные углы. Пересечение их сторон обозначим B. Опустим BH ⟂ AC.
6) Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам, поэтому AC : A₁C₁ = BH : B₁H₁. Следовательно,
(AC + BH) : (A₁C₁ + B₁H₁) = AC : A₁C₁ = s : l.
Так как A₁C₁ + B₁H₁ = l, получаем AC + BH = s.
Ответ: треугольник ABC построен.
Кратко 1) Постройте произвольный треугольник A₁B₁C₁ с данными углами A и C и проведите высоту B₁H₁.
2) Сложите отрезки: l = A₁C₁ + B₁H₁.
3) Для данного отрезка s постройте отрезок AC из пропорции AC : A₁C₁ = s : l.
4) На AC постройте треугольник ABC с данными углами A и C.
Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник ABC, если даны уголA, уголC и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.
