Упр.870 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать существование точек N, P и QС пояснением
1) Построим точку N, симметричную M относительно A. Тогда A — середина MN.2) Построим точку P, симметричную N относительно B. Тогда B — середина NP.3) Построим точку Q, симметричную P относительно C. Тогда C — середина PQ.4) Обозначим координаты точек соответствующими маленькими буквами. По формуле координат середины:
n = 2a − m,
p = 2b − n,
q = 2c − p.
Следовательно,
q = 2c − 2b + 2a − m.5) В параллелограмме ABCD диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому a + c = b + d, откуда d = a + c − b. Значит,
q = 2d − m,
то есть m + q = 2d. Следовательно, D является серединой отрезка QM.Таким образом, построенные точки N, P и Q удовлетворяют всем условиям.Ответ: точки N, P и Q существуют; их нужно последовательно построить симметричными точкам M, N и P относительно A, B и C.
Кратко Построим N как точку, симметричную M относительно A; P — симметричную N относительно B; Q — симметричную P относительно C. Тогда A, B и C — середины MN, NP и PQ.По формуле середины n = 2a − m, p = 2b − n, q = 2c − p. Поэтому q = 2a − 2b + 2c − m. Для параллелограмма d = a − b + c, значит q = 2d − m. Следовательно, D — середина QM.Ответ: требуемые точки N, P и Q существуют.
n = 2a − m,
p = 2b − n,
q = 2c − p.
Следовательно,
q = 2c − 2b + 2a − m.5) В параллелограмме ABCD диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому a + c = b + d, откуда d = a + c − b. Значит,
q = 2d − m,
то есть m + q = 2d. Следовательно, D является серединой отрезка QM.Таким образом, построенные точки N, P и Q удовлетворяют всем условиям.Ответ: точки N, P и Q существуют; их нужно последовательно построить симметричными точкам M, N и P относительно A, B и C.
Кратко Построим N как точку, симметричную M относительно A; P — симметричную N относительно B; Q — симметричную P относительно C. Тогда A, B и C — середины MN, NP и PQ.По формуле середины n = 2a − m, p = 2b − n, q = 2c − p. Поэтому q = 2a − 2b + 2c − m. Для параллелограмма d = a − b + c, значит q = 2d − m. Следовательно, D — середина QM.Ответ: требуемые точки N, P и Q существуют.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить точку D и выяснить существование решенияС пояснением
Пусть C — внутренняя точка отрезка AB.1) Если AC < CB, точка D должна лежать за точкой A. Построим отрезок AD из пропорции
AD : AB = AC : (CB − AC).
Такой отрезок строится с помощью вспомогательного угла и параллельных прямых. Тогда
AD(CB − AC) = AB · AC.
Так как DB = AD + AB, получаем AD · CB = AC · DB, то есть
AD/DB = AC/CB.2) Если AC > CB, точка D должна лежать за точкой B. Построим отрезок BD из пропорции
BD : AB = CB : (AC − CB).
Тогда аналогично AD/DB = AC/CB.3) Если AC = CB, то C — середина AB. Требовалось бы AD = DB. Но единственная точка прямой AB, равноудалённая от A и B, — середина отрезка AB, а она лежит на отрезке. Поэтому подходящей точки D нет.Ответ: задача имеет решение не всегда; для внутренней точки C решение существует при AC ≠ CB.
Кратко Если AC < CB, точку D строят за A, причём
AD : AB = AC : (CB − AC).Если AC > CB, точку D строят за B, причём
BD : AB = CB : (AC − CB).При AC = CB решения нет, так как точка, равноудалённая от A и B, лежит в середине отрезка AB.Ответ: не всегда; решение существует при AC ≠ CB.
AD : AB = AC : (CB − AC).
Такой отрезок строится с помощью вспомогательного угла и параллельных прямых. Тогда
AD(CB − AC) = AB · AC.
Так как DB = AD + AB, получаем AD · CB = AC · DB, то есть
AD/DB = AC/CB.2) Если AC > CB, точка D должна лежать за точкой B. Построим отрезок BD из пропорции
BD : AB = CB : (AC − CB).
Тогда аналогично AD/DB = AC/CB.3) Если AC = CB, то C — середина AB. Требовалось бы AD = DB. Но единственная точка прямой AB, равноудалённая от A и B, — середина отрезка AB, а она лежит на отрезке. Поэтому подходящей точки D нет.Ответ: задача имеет решение не всегда; для внутренней точки C решение существует при AC ≠ CB.
Кратко Если AC < CB, точку D строят за A, причём
AD : AB = AC : (CB − AC).Если AC > CB, точку D строят за B, причём
BD : AB = CB : (AC − CB).При AC = CB решения нет, так как точка, равноудалённая от A и B, лежит в середине отрезка AB.Ответ: не всегда; решение существует при AC ≠ CB.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
Задание учебника 2023 года
Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы AD/DB=AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?
