Упр.869 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите углы четырёхугольника ABCDС пояснением
1) Обозначим ∠ADP = ∠PDC = x. Тогда ∠ADC = 2x.2) Так как AD = CD, треугольник ADC равнобедренный. Поэтому ∠CAD = ∠ACD. Поскольку P лежит на AC, ∠CAD = ∠PAD. По условию ∠PAD = 3x/2.3) По сумме углов треугольника ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
5x = 180°,
x = 36°.
Значит, ∠ADC = 72°.4) В треугольнике ADB стороны AD и BD равны, поэтому
∠DAB = ∠ABD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Следовательно, угол четырёхугольника при A равен 72°.5) В треугольнике DBC стороны BD и CD равны, поэтому
∠DBC = ∠BCD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Отсюда угол при C равен 72°, а угол при B:
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Кратко Пусть ∠ADP = ∠PDC = x. Так как AD = CD, то в равнобедренном треугольнике ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
откуда x = 36°, а ∠D = 72°.Из AD = BD = CD следует:
∠A = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠C = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠B = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
5x = 180°,
x = 36°.
Значит, ∠ADC = 72°.4) В треугольнике ADB стороны AD и BD равны, поэтому
∠DAB = ∠ABD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Следовательно, угол четырёхугольника при A равен 72°.5) В треугольнике DBC стороны BD и CD равны, поэтому
∠DBC = ∠BCD = (180° − 36°) : 2 = 72°.
Отсюда угол при C равен 72°, а угол при B:
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Кратко Пусть ∠ADP = ∠PDC = x. Так как AD = CD, то в равнобедренном треугольнике ADC:
2x + 2 · 3x/2 = 180°,
откуда x = 36°, а ∠D = 72°.Из AD = BD = CD следует:
∠A = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠C = (180° − 36°) : 2 = 72°,
∠B = 72° + 72° = 144°.Ответ: ∠A = 72°, ∠B = 144°, ∠C = 72°, ∠D = 72°.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить точку на большем основании трапецииС пояснением
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD — её большее основание, AB — данная боковая сторона. Искомую точку обозначим M.1) Опустим из M перпендикуляры ME на AB и MF на CD. Тогда ME и MF — расстояния от M до боковых сторон.
2) Прямоугольные треугольники AME и DMF имеют равные острые углы, так как углы при основании равнобедренной трапеции равны. Поэтому эти треугольники подобны и ME : MF = AM : MD.
3) Значит, условие ME = n · MF выполняется, если AM : MD = n : 1.
4) При n = 2 разделим AD на 3 равные части и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.
5) При n = 3 разделим AD на 4 равные части и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.
6) При n = 4 разделим AD на 5 равных частей и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.Если дана боковая сторона CD, построение выполняется симметрично: точку берут на расстоянии одной части от A.Ответ: основание нужно разделить на n + 1 равных частей; искомая точка делит его в отношении n : 1 и расположена ближе к другой боковой стороне.
Кратко Пусть AD — большее основание, AB — данная боковая сторона.Так как расстояния от точки M до боковых сторон относятся как AM : MD, нужно построить AM : MD = n : 1.n = 2: разделить AD на 3 равные части, M взять в одной части от D.
n = 3: разделить AD на 4 равные части, M взять в одной части от D.
n = 4: разделить AD на 5 равных частей, M взять в одной части от D.Ответ: M делит большее основание в отношении n : 1 и лежит ближе к боковой стороне, до которой расстояние меньше.
2) Прямоугольные треугольники AME и DMF имеют равные острые углы, так как углы при основании равнобедренной трапеции равны. Поэтому эти треугольники подобны и ME : MF = AM : MD.
3) Значит, условие ME = n · MF выполняется, если AM : MD = n : 1.
4) При n = 2 разделим AD на 3 равные части и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.
5) При n = 3 разделим AD на 4 равные части и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.
6) При n = 4 разделим AD на 5 равных частей и возьмём точку M на расстоянии одной части от D.Если дана боковая сторона CD, построение выполняется симметрично: точку берут на расстоянии одной части от A.Ответ: основание нужно разделить на n + 1 равных частей; искомая точка делит его в отношении n : 1 и расположена ближе к другой боковой стороне.
Кратко Пусть AD — большее основание, AB — данная боковая сторона.Так как расстояния от точки M до боковых сторон относятся как AM : MD, нужно построить AM : MD = n : 1.n = 2: разделить AD на 3 равные части, M взять в одной части от D.
n = 3: разделить AD на 4 равные части, M взять в одной части от D.
n = 4: разделить AD на 5 равных частей, M взять в одной части от D.Ответ: M делит большее основание в отношении n : 1 и лежит ближе к боковой стороне, до которой расстояние меньше.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол ADP = угол PDC, угол.ADP = 2/3 угол PAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника. б) Докажите, что АВ2 = ВР x BD.
Задание учебника 2023 года
Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в п раз дальше, чем от другой (n = 2, 3, 4).
