Упр.862 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Докажите свойство высот в ортическом треугольникеС пояснением
Пусть AD, BE и CF — высоты остроугольного треугольника ABC, а D, E и F — их основания соответственно. Докажем, что AD, BE и CF — биссектрисы треугольника DEF.1) Так как ∠ADB = ∠AEB = 90°, четырёхугольник ABDE вписанный. Поэтому ∠EDA = ∠EBA.
Аналогично четырёхугольник ACDF вписанный, поэтому ∠ADF = ∠ACF.
Углы ∠EBA и ∠ACF равны, так как каждый из них дополняет ∠A до 90°. Следовательно, ∠EDA = ∠ADF, то есть AD — биссектриса угла EDF.2) Из вписанного четырёхугольника ABDE получаем ∠DEB = ∠DAB. Из вписанного четырёхугольника BCEF получаем ∠BEF = ∠BCF.
Углы ∠DAB и ∠BCF равны, так как каждый дополняет ∠B до 90°. Значит, ∠DEB = ∠BEF, поэтому BE — биссектриса угла DEF.3) Из вписанного четырёхугольника BCEF следует, что ∠EFC = ∠EBC. Из вписанного четырёхугольника ACDF следует, что ∠CFD = ∠CAD.
Углы ∠EBC и ∠CAD равны, так как каждый дополняет ∠C до 90°. Поэтому ∠EFC = ∠CFD, то есть CF — биссектриса угла EFD.Ответ: высоты AD, BE и CF являются биссектрисами треугольника DEF, образованного основаниями высот.
Кратко Пусть D, E, F — основания высот AD, BE, CF треугольника ABC.Четырёхугольники ABDE, BCEF и ACDF вписанные, так как в каждом есть два прямых угла. Поэтому:
∠EDA = ∠EBA = 90° − ∠A = ∠ACF = ∠ADF;
∠DEB = ∠DAB = 90° − ∠B = ∠BCF = ∠BEF;
∠EFC = ∠EBC = 90° − ∠C = ∠CAD = ∠CFD.Следовательно, AD, BE и CF делят углы треугольника DEF пополам.Ответ: высоты исходного треугольника являются биссектрисами треугольника DEF.
Аналогично четырёхугольник ACDF вписанный, поэтому ∠ADF = ∠ACF.
Углы ∠EBA и ∠ACF равны, так как каждый из них дополняет ∠A до 90°. Следовательно, ∠EDA = ∠ADF, то есть AD — биссектриса угла EDF.2) Из вписанного четырёхугольника ABDE получаем ∠DEB = ∠DAB. Из вписанного четырёхугольника BCEF получаем ∠BEF = ∠BCF.
Углы ∠DAB и ∠BCF равны, так как каждый дополняет ∠B до 90°. Значит, ∠DEB = ∠BEF, поэтому BE — биссектриса угла DEF.3) Из вписанного четырёхугольника BCEF следует, что ∠EFC = ∠EBC. Из вписанного четырёхугольника ACDF следует, что ∠CFD = ∠CAD.
Углы ∠EBC и ∠CAD равны, так как каждый дополняет ∠C до 90°. Поэтому ∠EFC = ∠CFD, то есть CF — биссектриса угла EFD.Ответ: высоты AD, BE и CF являются биссектрисами треугольника DEF, образованного основаниями высот.
Кратко Пусть D, E, F — основания высот AD, BE, CF треугольника ABC.Четырёхугольники ABDE, BCEF и ACDF вписанные, так как в каждом есть два прямых угла. Поэтому:
∠EDA = ∠EBA = 90° − ∠A = ∠ACF = ∠ADF;
∠DEB = ∠DAB = 90° − ∠B = ∠BCF = ∠BEF;
∠EFC = ∠EBC = 90° − ∠C = ∠CAD = ∠CFD.Следовательно, AD, BE и CF делят углы треугольника DEF пополам.Ответ: высоты исходного треугольника являются биссектрисами треугольника DEF.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что MK равен полупериметру △ABCС пояснением
1) Отразим точку A относительно биссектрисы внешнего угла при вершине B и обозначим полученную точку D. Так как AM перпендикулярна этой биссектрисе, точка M — середина AD.При отражении луч BA переходит в луч, противоположный лучу BC. Поэтому D лежит на продолжении BC за точку B и BD = BA.2) Аналогично отразим точку A относительно биссектрисы внешнего угла при вершине C и обозначим полученную точку E. Тогда K — середина AE, точка E лежит на продолжении BC за точку C и CE = CA.3) Точки D, B, C, E лежат на одной прямой, поэтому
DE = DB + BC + CE = AB + BC + CA.4) В треугольнике ADE точки M и K — середины сторон AD и AE. Следовательно, MK — средняя линия треугольника ADE:
MK = DE : 2 = (AB + BC + CA) : 2.Ответ: MK равен половине периметра треугольника ABC.
Кратко Отразим A относительно биссектрис внешних углов при B и C в точки D и E. Тогда M и K — середины AD и AE, причём D, B, C, E лежат на одной прямой, DB = AB и CE = AC.В △ADE отрезок MK — средняя линия, поэтому
MK = DE/2 = (AB + BC + CA)/2.Ответ: MK равен половине периметра △ABC.
DE = DB + BC + CE = AB + BC + CA.4) В треугольнике ADE точки M и K — середины сторон AD и AE. Следовательно, MK — средняя линия треугольника ADE:
MK = DE : 2 = (AB + BC + CA) : 2.Ответ: MK равен половине периметра треугольника ABC.
Кратко Отразим A относительно биссектрис внешних углов при B и C в точки D и E. Тогда M и K — середины AD и AE, причём D, B, C, E лежат на одной прямой, DB = AB и CE = AC.В △ADE отрезок MK — средняя линия, поэтому
MK = DE/2 = (AB + BC + CA)/2.Ответ: MK равен половине периметра △ABC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
Задание учебника 2023 года
Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.
