Упр.863 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что K лежит на медиане CMС пояснением
Пусть M — середина стороны AB. Тогда CM — медиана треугольника ABC.1) Так как E лежит на AF и AE = BF, причём AM = BM, то
ME = AM − AE = BM − BF = MF.
Значит, M — середина EF.2) Обозначим через K₁ точку пересечения прямой CM с прямой, проходящей через E параллельно AC. Так как EK₁ ∥ AC, треугольники MEK₁ и MAC подобны. Поэтому
ME/MA = MK₁/MC.3) Поскольку ME = MF и MA = MB, получаем
MF/MB = MK₁/MC.
Кроме того, угол FMK₁ равен углу BMC. Следовательно, треугольники MFK₁ и MBC подобны по двум сторонам и углу между ними.4) Из подобия следует, что FK₁ ∥ BC. Значит, K₁ лежит и на прямой через E, параллельной AC, и на прямой через F, параллельной BC. Поэтому K₁ совпадает с точкой K.Следовательно, K лежит на медиане CM.Ответ: точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Из AE = BF и AM = BM следует, что ME = MF.Проведём через E прямую, параллельную AC, до пересечения с CM в точке K₁. Из подобия треугольников MEK₁ и MAC:
ME/MA = MK₁/MC.Так как ME = MF и MA = MB, то
MF/MB = MK₁/MC.
По признаку подобия треугольников MFK₁ и MBC получаем FK₁ ∥ BC. Следовательно, K₁ = K, поэтому K лежит на CM.Ответ: K лежит на медиане CM.
ME = AM − AE = BM − BF = MF.
Значит, M — середина EF.2) Обозначим через K₁ точку пересечения прямой CM с прямой, проходящей через E параллельно AC. Так как EK₁ ∥ AC, треугольники MEK₁ и MAC подобны. Поэтому
ME/MA = MK₁/MC.3) Поскольку ME = MF и MA = MB, получаем
MF/MB = MK₁/MC.
Кроме того, угол FMK₁ равен углу BMC. Следовательно, треугольники MFK₁ и MBC подобны по двум сторонам и углу между ними.4) Из подобия следует, что FK₁ ∥ BC. Значит, K₁ лежит и на прямой через E, параллельной AC, и на прямой через F, параллельной BC. Поэтому K₁ совпадает с точкой K.Следовательно, K лежит на медиане CM.Ответ: точка K лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Из AE = BF и AM = BM следует, что ME = MF.Проведём через E прямую, параллельную AC, до пересечения с CM в точке K₁. Из подобия треугольников MEK₁ и MAC:
ME/MA = MK₁/MC.Так как ME = MF и MA = MB, то
MF/MB = MK₁/MC.
По признаку подобия треугольников MFK₁ и MBC получаем FK₁ ∥ BC. Следовательно, K₁ = K, поэтому K лежит на CM.Ответ: K лежит на медиане CM.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что середины трёх отрезков не коллинеарныС пояснением
Обозначим через D, E и F середины сторон BC, CA и AB соответственно, а через M, N и P — середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁.1) В треугольнике ABA₁ отрезок FM соединяет середины сторон AB и AA₁, поэтому FM ∥ BA₁, то есть FM ∥ BC. Аналогично EM ∥ BC. Значит, точки E, M, F лежат на одной прямой. Так как A₁ — внутренняя точка BC, точка M лежит внутри стороны EF треугольника DEF.2) Таким же образом получаем, что N лежит внутри стороны FD, а P — внутри стороны DE треугольника DEF.3) Одна прямая не может проходить через внутренние точки всех трёх сторон треугольника: она пересекает его границу не более чем в двух точках. Если же прямая совпадает с одной из сторон, то она не проходит через внутренние точки двух других сторон.Следовательно, точки M, N и P не лежат на одной прямой.Ответ: середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат на одной прямой.
Кратко Пусть D, E, F — середины BC, CA, AB, а M, N, P — середины AA₁, BB₁, CC₁.По свойству средней линии треугольника M лежит внутри EF, N — внутри FD, P — внутри DE. Значит, M, N и P находятся на трёх разных сторонах треугольника DEF. Одна прямая не может пересекать все три стороны треугольника во внутренних точках.Ответ: точки M, N и P не лежат на одной прямой.
Кратко Пусть D, E, F — середины BC, CA, AB, а M, N, P — середины AA₁, BB₁, CC₁.По свойству средней линии треугольника M лежит внутри EF, N — внутри FD, P — внутри DE. Значит, M, N и P находятся на трёх разных сторонах треугольника DEF. Одна прямая не может пересекать все три стороны треугольника во внутренних точках.Ответ: точки M, N и P не лежат на одной прямой.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC, причём точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF. Прямая, проведённая через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треугольника ABC, проведённой к стороне АВ.
Задание учебника 2023 года
Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
