Упр.865 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство для сторон треугольникаС пояснением
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c и ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α и 7α = 180°.1) Проведём биссектрису BD угла B, где D лежит на AC. Тогда ∠ABD = ∠BAD = α, поэтому AD = BD.
В треугольнике BDC:
∠BDC = 180° − α − 4α = 2α.
Следовательно, треугольники BDC и ABC подобны. Из подобия:
BD/AB = BC/AC, то есть BD/c = a/b,
DC/BC = BC/AC, то есть DC/a = a/b.
Поэтому BD = ac/b, DC = a²/b. Так как AC = AD + DC и AD = BD, получаем:
b = ac/b + a²/b,
то есть b² = a(a + c).2) Проведём биссектрису CE угла C, где E лежит на AB. Тогда ∠ACE = ∠ECB = 2α. Треугольники ACE и ABC подобны, а в треугольнике BCE углы при B и C равны 2α, поэтому BE = CE.
Из подобия получаем AE = b²/c и CE = ab/c. Следовательно,
c = AE + BE = b²/c + ab/c,
то есть c² = b(a + b).3) Положим x = b/a. Из равенства b² = a(a + c) имеем
c/a = x² − 1.
Разделив равенство c² = b(a + b) на a², получим
(c/a)² = x(1 + x).
Значит,
(x² − 1)² = x(x + 1),
(x − 1)²(x + 1) = x.
После раскрытия скобок:
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Подставляя x = b/a и x² − 1 = c/a, получаем
bc/a² = b/a + c/a,
то есть bc = a(b + c).Разделим это равенство на abc:
1/a = 1/b + 1/c.Ответ: 1/BC = 1/AC + 1/AB, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, а ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α.1) Проведя биссектрису угла B и применив подобие треугольников, получаем:
b² = a(a + c).2) Проведя биссектрису угла C и снова применив подобие, получаем:
c² = b(a + b).3) Обозначим x = b/a. Тогда из первого равенства c/a = x² − 1, а из второго:
(x² − 1)² = x(x + 1).
Отсюда (x − 1)²(x + 1) = x, то есть
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Следовательно,
bc = a(b + c).
Разделив на abc, получаем:
1/BC = 1/AC + 1/AB.Ответ: равенство доказано.
В треугольнике BDC:
∠BDC = 180° − α − 4α = 2α.
Следовательно, треугольники BDC и ABC подобны. Из подобия:
BD/AB = BC/AC, то есть BD/c = a/b,
DC/BC = BC/AC, то есть DC/a = a/b.
Поэтому BD = ac/b, DC = a²/b. Так как AC = AD + DC и AD = BD, получаем:
b = ac/b + a²/b,
то есть b² = a(a + c).2) Проведём биссектрису CE угла C, где E лежит на AB. Тогда ∠ACE = ∠ECB = 2α. Треугольники ACE и ABC подобны, а в треугольнике BCE углы при B и C равны 2α, поэтому BE = CE.
Из подобия получаем AE = b²/c и CE = ab/c. Следовательно,
c = AE + BE = b²/c + ab/c,
то есть c² = b(a + b).3) Положим x = b/a. Из равенства b² = a(a + c) имеем
c/a = x² − 1.
Разделив равенство c² = b(a + b) на a², получим
(c/a)² = x(1 + x).
Значит,
(x² − 1)² = x(x + 1),
(x − 1)²(x + 1) = x.
После раскрытия скобок:
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Подставляя x = b/a и x² − 1 = c/a, получаем
bc/a² = b/a + c/a,
то есть bc = a(b + c).Разделим это равенство на abc:
1/a = 1/b + 1/c.Ответ: 1/BC = 1/AC + 1/AB, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, а ∠A = α. Тогда ∠B = 2α, ∠C = 4α.1) Проведя биссектрису угла B и применив подобие треугольников, получаем:
b² = a(a + c).2) Проведя биссектрису угла C и снова применив подобие, получаем:
c² = b(a + b).3) Обозначим x = b/a. Тогда из первого равенства c/a = x² − 1, а из второго:
(x² − 1)² = x(x + 1).
Отсюда (x − 1)²(x + 1) = x, то есть
x(x² − 1) = x + x² − 1.
Следовательно,
bc = a(b + c).
Разделив на abc, получаем:
1/BC = 1/AC + 1/AB.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В треугольнике ABC уголA=180°/7 и уголB = 360°/7. Докажите, что 1/BC=1/AC+1/AB.
Задание учебника 2023 года
В треугольнике ABC, сторона АС которого в два раза больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К. Докажите, что SBCM=1/2SACM=1/3SABC=1/2SCMK.
