Упр.871 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Сравнить полусумму противоположных сторон с отрезком серединС пояснением
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD не параллельны, а M и N — середины сторон AD и BC. Обозначим через K середину диагонали AC.1) В треугольнике ADC отрезок MK — средняя линия, поэтому MK = CD/2 и MK ∥ CD.2) В треугольнике ABC отрезок KN — средняя линия, поэтому KN = AB/2 и KN ∥ AB.3) Так как AB и CD не параллельны, отрезки MK и KN не лежат на одной прямой. Поэтому по неравенству треугольника:
MN < MK + KN.4) Следовательно,
MN < CD/2 + AB/2 = (AB + CD)/2.Ответ: полусумма непараллельных противоположных сторон больше отрезка, соединяющего середины двух других сторон.
Кратко Пусть M и N — середины AD и BC, а K — середина диагонали AC. По свойству средней линии треугольника:
MK = CD/2, KN = AB/2.
Поскольку AB ∦ CD, точки M, K и N не лежат на одной прямой. По неравенству треугольника:
MN < MK + KN = (AB + CD)/2.Ответ: MN < (AB + CD)/2.
MN < MK + KN.4) Следовательно,
MN < CD/2 + AB/2 = (AB + CD)/2.Ответ: полусумма непараллельных противоположных сторон больше отрезка, соединяющего середины двух других сторон.
Кратко Пусть M и N — середины AD и BC, а K — середина диагонали AC. По свойству средней линии треугольника:
MK = CD/2, KN = AB/2.
Поскольку AB ∦ CD, точки M, K и N не лежат на одной прямой. По неравенству треугольника:
MN < MK + KN = (AB + CD)/2.Ответ: MN < (AB + CD)/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить равнобедренный треугольник по углу и суммеС пояснением
Пусть даны угол α и отрезок l, равный сумме основания и высоты.1) Построим произвольный равнобедренный треугольник A₁B₁C₁ с углом A₁ = α. Для этого проведём биссектрису угла α, отметим на ней точку D₁ и через D₁ проведём перпендикуляр к биссектрисе. Точки его пересечения со сторонами угла обозначим B₁ и C₁.
2) На одной прямой последовательно отложим отрезки B₁C₁ и A₁D₁. Получим отрезок t = B₁C₁ + A₁D₁.
3) С помощью построения пропорциональных отрезков построим h и b так, чтобы
h : A₁D₁ = b : B₁C₁ = l : t.
Это выполняется при помощи двух лучей и параллельных прямых.
4) Построим отрезок BC = b и найдём его середину D.
5) Через D проведём перпендикуляр к BC и отложим на нём DA = h. Соединим A с B и C.Так как BD = DC, AD — общая сторона, а углы ADB и ADC прямые, треугольники ADB и ADC равны. Поэтому AB = AC.
Кроме того, все размеры построенного треугольника пропорциональны размерам треугольника A₁B₁C₁, следовательно, эти треугольники подобны и ∠A = α. По построению BC + AD = b + h = l.Ответ: ABC — искомый равнобедренный треугольник.
Кратко 1) Построим произвольный равнобедренный треугольник A₁B₁C₁ с заданным углом α и проведём высоту A₁D₁.
2) Сложим отрезки B₁C₁ и A₁D₁, получив t.
3) Уменьшим или увеличим все размеры треугольника в отношении l : t, где l — данная сумма.
4) Получим подобный треугольник ABC, для которого ∠A = α и BC + AD = l.Ответ: ABC — искомый треугольник.
2) На одной прямой последовательно отложим отрезки B₁C₁ и A₁D₁. Получим отрезок t = B₁C₁ + A₁D₁.
3) С помощью построения пропорциональных отрезков построим h и b так, чтобы
h : A₁D₁ = b : B₁C₁ = l : t.
Это выполняется при помощи двух лучей и параллельных прямых.
4) Построим отрезок BC = b и найдём его середину D.
5) Через D проведём перпендикуляр к BC и отложим на нём DA = h. Соединим A с B и C.Так как BD = DC, AD — общая сторона, а углы ADB и ADC прямые, треугольники ADB и ADC равны. Поэтому AB = AC.
Кроме того, все размеры построенного треугольника пропорциональны размерам треугольника A₁B₁C₁, следовательно, эти треугольники подобны и ∠A = α. По построению BC + AD = b + h = l.Ответ: ABC — искомый равнобедренный треугольник.
Кратко 1) Построим произвольный равнобедренный треугольник A₁B₁C₁ с заданным углом α и проведём высоту A₁D₁.
2) Сложим отрезки B₁C₁ и A₁D₁, получив t.
3) Уменьшим или увеличим все размеры треугольника в отношении l : t, где l — данная сумма.
4) Получим подобный треугольник ABC, для которого ∠A = α и BC + AD = l.Ответ: ABC — искомый треугольник.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
Задание учебника 2023 года
Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.
